√a√b=√(ab)は「当たり前」ではない

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$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$ や、 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{6}{3}} = \sqrt{2}$ のように、根号(ルート)同士の掛け算割り算は、その中身同士の掛け算割り算で計算できる、という事を中学で学ぶ。しかし実数のみ扱う関係で、根号の中身の数は正の数限定であった。
高校の数学IIでは「虚数単位」や「複素数」が登場し、根号の中身に負の数が入ることも認められるようになった。この時、 $\sqrt{- 2} \times \sqrt{- 3} \neq \sqrt{(- 2) \times (- 3)}$ のように、負の数が入る場合は中身の計算はできない。これに対して疑問を持つ人が少なからずいる。それまで「中身同士の計算」で疑問なく計算できていたものが、なぜこれはできないのか？

まず、そもそも「中身同士の計算ができる」こと自体が当たり前のことなどではなく、根号の定義から導かれた性質なのである。

正の数に対する根号

$a > 0$ のとき、 $a$ の平方根は正の数と負の数の2つある。
$\sqrt{a}$ は $a$ の平方根のうち、正の数である。

例えば「 $4$ の平方根」は $2$ と $- 2$ の2つ存在するが、「 $\sqrt{4}$ 」が指す数は、このうち正の数である $2$ である。
冒頭の事柄が成立するのは、このことを根拠としている。

根号同士の積と商

$a > 0, b > 0$ の時、 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{a b}, \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

${(\sqrt{a} \sqrt{b})}^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} {(\sqrt{b})}^{2} = a b (> 0) {(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}})}^{2} = \frac{{(\sqrt{a})}^{2}}{{(\sqrt{b})}^{2}} = \frac{a}{b} (> 0)$
$\sqrt{a} > 0, \sqrt{b} > 0$ なので、 $\sqrt{a} \sqrt{b}$ は $a b$ の正の平方根であり、 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ は $\frac{a}{b}$ の正の平方根である。
すなわち、 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{a b}, \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

$\sqrt{a} \sqrt{b}$ は2乗して $a b$ になる正の数だから $\sqrt{a b}$ に等しい、というわけだ。
これが見かけ上、根号内同士で掛け算割り算ができる、という形に見える、というだけの話だったのだ。

では、根号内が負である数が含まれる場合どうなるのか。

虚数単位

$i^{2} = - 1$ となる特別な数 $i$ を虚数単位と呼ぶ。

複素数

2つの実数 $a, b$ と虚数単位 $i$ を使って表される $a + b i$ という数を複素数と呼ぶ。
この時 $a$ を実部、 $b$ を虚部と呼ぶ。
$b \neq 0$ である複素数を虚数と呼び、さらに $a = 0$ である虚数を純虚数と呼ぶ。

虚数には正負や大小はない

$b \neq 0$ である複素数(虚数)は、正負や他の数との大小関係を定義できない。
$i \neq 0$ は明白で、 $i > 0, i < 0$ いずれを仮定しても、 $- 1 > 0$ という矛盾が導かれるからだ。

この虚数単位 $i$ を導入すると、負の数の平方根について次のように表現できる。

負の数に対する根号

$a > 0$ のとき、 $- a$ の平方根は $\sqrt{a} i$ と $- \sqrt{a} i$ の2つある。
$\sqrt{- a}$ はこのうち、 $\sqrt{a} i$ を指す。つまり $\sqrt{- a} ＝ \sqrt{a} i$

負の数の平方根は純虚数で、虚部が正のものと負のものがある。根号で表される数は、そのうち虚部が正のものと定めたのである。

さて、ここで先ほどの証明を、 $a < 0$ だったとして読み返してみよう。このとき $\sqrt{a}$ は虚数である。
先ほどの注意にも書いたが、虚数に対して正負や大小といったものを定義することはできない。
すると赤字で書いた、「 $\sqrt{a} > 0$ 」が成り立たない。
したがってそれ以降の話も成立しないので、それまでの延長で「根号内の計算」という話はできない、という事になる。

これまでの定義に忠実に行くなら、次のような事柄は示せる。

根号内に負の数がある場合の根号同士の積と商

$a, b$ の一方が正、他方が負である場合、 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{a b}$

$a < 0, b > 0$ である場合、 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

${(\sqrt{a} \sqrt{b})}^{2} = {(\sqrt{a})}^{2} {(\sqrt{b})}^{2} = a b (< 0)$
これにより、 $\sqrt{a} \sqrt{b}$ は、負の数 $a b$ の平方根である。
$\sqrt{a}, \sqrt{b}$ は、一方が正の実数で、他方が「虚部が正の純虚数」なので、
その積 $\sqrt{a} \sqrt{b}$ は、虚部が正の純虚数である。
したがって、 $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ である。
また $a < 0, b > 0$ である場合、 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{a} \times \frac{1}{\sqrt{b}} = \sqrt{a} \times \sqrt{\frac{1}{b}} = \sqrt{a \times \frac{1}{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$