こちら に載っていた問題です。
∑n=1∞24nn3(2nn)2
[解説]
∫01xn−11−xdx=22nn(2nn)
∫01xn−11−xdx=B(n,12)=Γ(n)Γ(12)Γ(n+12)=2nn!n(2n−1)!!=22nn!2n(2n)!=22nn(2nn) ◻
この補題を踏まえて解いてみます。
∑n=1∞24nn3(2nn)2=∑n=1∞22nn2(2nn)∫01xn−11−xdx=∫011x1−x∑n=1∞22nxnn2(2nn)dx=2∫01arcsin2xx1−xdx=4∫0π2t2sin2tcostsintcostdt (x=sin2t)=4∫0π2t2sintdt=4[t2logtant2]0π2−8∫0π2tlogtant2dt=16∫0π2t∑n=0∞cos(2n+1)t2n+1dt=16∑n=0∞12n+1∫0π2tcos(2n+1)tdt=8∑n=0∞π(−1)n(2n+1)−2(2n+1)3=8π∑n=0∞(−1)n(2n+1)2−16∑n=0∞1(2n+1)3=8πG−14ζ(3) ◻
よって、
∑n=1∞24nn3(2nn)2=8πG−14ζ(3)
がわかりました。
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