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級数解説06

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こちら に載っていた問題です。

n=124nn3(2nn)2

[解説]

01xn11xdx=22nn(2nn)

01xn11xdx=B(n,12)=Γ(n)Γ(12)Γ(n+12)=2nn!n(2n1)!!=22nn!2n(2n)!=22nn(2nn)          

この補題を踏まえて解いてみます。

n=124nn3(2nn)2=n=122nn2(2nn)01xn11xdx=011x1xn=122nxnn2(2nn)dx=201arcsin2xx1xdx=40π2t2sin2tcostsintcostdt          (x=sin2t)=40π2t2sintdt=4[t2logtant2]0π280π2tlogtant2dt=160π2tn=0cos(2n+1)t2n+1dt=16n=012n+10π2tcos(2n+1)tdt=8n=0π(1)n(2n+1)2(2n+1)3=8πn=0(1)n(2n+1)216n=01(2n+1)3=8πG14ζ(3)          

よって、

n=124nn3(2nn)2=8πG14ζ(3)

がわかりました。

投稿日:20201130
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神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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