【高校数学ⅠAⅡB】y=f(x)のグラフを平行移動・拡大縮小・回転移動させたい

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初めに

関数 $f (x)$ を変形させてみたいと思ったことはあるだろうか？僕はあります。

方針

平行移動、拡大縮小、回転移動をやって行くのだが、この3つとも次に示す方針に従って行っていく。

$1. 点 (x, y) が変換されて点 (X, Y) となったとする。そのとき、 X = (変換の定義の式) 、 Y = (変換の定義の式) と置く。$
$2. この 2 式を x, y について解く$
$3. y = f (x) に 2. で示した x, y を代入する。$

平行移動

$y = f (x) のグラフを x 軸方向に p 、 y 軸方向に q だけ平行移動させたグラフの式を求めよ。$

$x が x 軸方向に p だけ移動され X となり、 y が y 軸方向に q だけ移動され Y となるから、$
$X = x + p 、 Y = y + q となる。$
$これを x, y について解くと、$
$x = X - p 、 y = Y - q$
$したがって、$
$Y - q = f (X - p) が得られる。$
$よって、この公式が得られる。$

平行移動

$y = f (x) のグラフを x 軸方向に p 、 y 軸方向に q だけ平行移動させたグラフの式は、$
$y - q = f (x - p)$

GeoGebraで出力してみる

平行移動
黒いグラフは $y = x^{3} + 3 x^{2}$ 、赤いグラフはそれを $x 方向に 2, y 方向に - 5$ だけ平行させたグラフである。
つまり、 $y + 5 = (x - 2)^{3} + 3 (x - 2)^{2} ⟺ y = x^{3} - 3 x^{2} - 9$ である。

拡大縮小

$y = f (x) のグラフを原点を中心に x 軸方向に p 倍、 y 軸方向に q 倍拡大させたグラフの式を求めよ。$

ちなみに、縮小したい場合も本質的には同じである。 $(0 < p, q < 1 か 1 < p, q かの違い)$
$x が x 軸方向に p 倍されて X となり、 y が y 軸方向に q 倍されて Y となるから、$
$X = p x 、 Y = q y となる。$
$これを x, y について解くと、$
$x = \frac{X}{p} 、 y = \frac{Y}{q} となる。$
$したがって、$
$\frac{Y}{q} = f (\frac{X}{p}) が得られる。$
$よって、この公式が得られる。$

拡大縮小

$y = f (x) を原点中心に x 軸方向に p 倍、 y 軸方向に q 倍拡大させたグラフの式は、$
$\frac{y}{q} = f (\frac{x}{p})$

$なお、 p = - 1 にすれば y 軸で対称移動、 q = - 1 にすれば x 軸で対称移動させることができる。$

GeoGebraで出力してみる

拡大縮小
黒いグラフは $y = \sin x$ 、赤いグラフはそれを原点中心に $x 方向に \frac{1}{2} 倍に縮小し, y 方向に 2 倍拡大させた$ グラフである。
$つまり、 \frac{y}{2} = \sin 2 x ⟺ y = 2 \sin 2 x である。$

回転移動

$y = f (x) のグラフを原点中心に θ だけ回転移動させたグラフの式を求めよ。ただし、 0 ≦ θ < 2 π とする。$

$(x, y) = (r \cos α, r \sin α) とする。 (極形式に直す .)$
$すると、 (X, Y) = (r \cos (α + θ), r \sin (α + θ)) となる。$
$したがって、$
$X = r \cos (α + θ) = r (\cos α \cos θ - \sin α \sin θ) = (r \cos α) \cos θ - (r \sin α) \sin θ = x \cos θ - y \sin θ$
$Y = r \sin (α + θ) = r (\sin α \cos θ + \cos α \sin θ) = (r \cos α) \sin θ + (r \sin α) \cos θ = x \sin θ + y \cos θ$
$よって、$
$\begin{array}{r} {\begin{cases} X = x \cos θ - y \sin θ \\ Y = x \sin θ + y \cos θ \end{cases} \end{array}$
$この方程式を x, y について解くと、$
$x = X \cos θ + Y \sin θ 、 y = - X \sin θ + Y \cos θ$

この連立方程式を解く際に $\sin θ, \cos θ$ で割る場面が出たため、 $θ ＝ 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3}{2} π$ とそれ以外で場合分けをし、この解が成立することを示す必要がある。なお、確認すれば上の式はこれらの場合でも成り立つ。

よって、
$- X \sin θ + Y \cos θ = f (X \cos θ + Y \sin θ) が得られる。$
$よって、この公式が得られる。$

回転移動

$y = f (x) を原点中心に θ だけ回転移動させたグラフの式は、$
$- x \sin θ + y \cos θ = f (x \cos θ + y \sin θ)$

GeoGebraで出力してみる

回転移動
黒いグラフは $y = x^{2}$ 、赤いグラフはそれを原点中心に $\frac{π}{4}$ ( $45 °$ )だけ回転移動させたグラフである。
$- x \sin \frac{π}{4} + y \cos \frac{π}{4} = (x \cos \frac{π}{4} + y \sin \frac{π}{4})^{2} ⟺ \frac{1}{2} x^{2} + x y + \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} x - \frac{1}{\sqrt{2}} y = 0$
となる。