sin(x)の無限積展開の大雑把な証明

$3$倍角の公式で$\sin x$を展開する話。
　まず、よく知られているように、
$$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$
である。これより、
$$\begin{array}{rl}\sin 3x& =4\sin x(\frac{3}{4}-{\sin }^{2}x)=4\sin x({\sin }^2\frac{\pi }{3}-{\sin }^{2}x)\\ & =4\sin x\sin (\frac{\pi }{3}-x)\sin (\frac{\pi }{3}+x).\end{array}$$
これを繰り返し使う。なお、
$$\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )={\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta$$
は加法定理で容易に証明できる。
$$\begin{array}{rl}\sin 9x& =4\sin 3x\sin 3(\frac{\pi }{9}-x)\sin 3(\frac{\pi }{9}+x)\\ & =4\cdot 4\sin x\sin (\frac{\pi }{3}-x)\sin (\frac{\pi }{3}+x)\\ & \times 4\sin (\frac{\pi }{9}-x)\sin (\frac{2\pi }{9}+x)\sin (\frac{4\pi }{9}-x)\\ & \times 4\sin (\frac{\pi }{9}+x)\sin (\frac{2\pi }{9}-x)\sin (\frac{4\pi }{9}+x)\\ & =4^4\sin x\prod _{k=1}^4\sin (\frac{k\pi }{9}-x)\sin (\frac{k\pi }{9}+x).\end{array}$$
帰納的に、
$$\begin{array}{rl}\sin 3^{m}x& =4^{1+3+\cdots +3^{m-1}}\sin x\prod _{k=1}^{1+3+\cdots +3^{m-1}}\sin (\frac{k\pi }{3^m}-x)\sin (\frac{k\pi }{3^m}+x)\\ & =2^{3^m-1}\sin x\prod _{k=1}^{(3^m-1)/2}({\sin }^2\frac{k\pi }{3^m}-{\sin }^{2}x).\end{array}$$
$x$を$x/3^m$で置き換えて、
$$\sin x=2^{3^m-1}\sin \frac{x}{3^m}\prod _{k=1}^{(3^m-1)/2}({\sin }^2\frac{k\pi }{3^m}-{\sin }^2\frac{x}{3^m})$$
を得る。ここで両辺を$x$で割って$x\to 0$すると、
$$\frac{\sin x}{x}\to 1,\frac{\sin \lambda x}{x}\to \lambda$$
みたいになるから、
$$1=\frac{2^{3^m-1}}{3^m}\prod _{k=1}^{(3^m-1)/2}{\sin }^2\frac{k\pi }{3^m}$$
なる。これも厳密に成り立つ。これで両辺を割ると、
$$\sin x=3^m\sin \frac{x}{3^m}\prod _{k=1}^{(3^m-1)/2}(1-\frac{{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{3^m}}}{{\sin }^2{\displaystyle \frac{k\pi }{3^m}}})$$
みたいになる。これも厳密。ここで$m\to \mathrm{\infty }$すると、
$$3^m\sin \frac{\alpha }{3^m}=\alpha \cdot \sin \frac{\alpha }{3^m}/\frac{\alpha }{3^m}\to \alpha$$
のようになるから、分数のところで上と下にそれぞれ$3^{2m}$を掛けて、
$$\sin x=x\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^2}{k^2{\pi }^2})$$
となる。ただ、$k$が一定じゃないのでやり方は厳密じゃない（$k$が項数に近い時におかしなことになる）・・正当化するにはいろいろ方法がある。差分を取って評価するとかしないといけない。証明してみたい人は・・
$$|x-\sin x|\le \frac{x^3}{6}(0\le x\le \pi )$$
とか、
$$\frac{2}{\pi }x\le \sin x\le x(0\le x\le \frac{\pi }{2})$$
が参考になるかも。
　複素関数論を使うとエレガントにできるとか、できないとか。