ある3次方程式の根をモジュロで出す話

方程式：
$$x^3-3x+1\equiv 0\mathrm{mod}p$$
の根を素数$p$に対して出す話。ただし$p\equiv 1\mathrm{mod}9$とする。
　三角関数の$3$倍角の公式より、
$$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$
であるので、
$$(2\cos \theta {)}^3-3\cdot 2\cos \theta +1=1+2\cos 3\theta$$
となる。ここで、
$$\cos 3\theta =-\frac{1}{2},0\le \theta <2\pi$$
の解は
$$3\theta =\frac{2\pi }{3},\frac{8\pi }{3},\frac{14\pi }{3},\theta =\frac{2\pi }{9},\frac{8\pi }{9},\frac{14\pi }{9}$$
となる。解は$x=2\cos \theta$の形で得ることができる。それは、
$$x=2\cos \frac{2\pi }{9},2\cos \frac{4\pi }{9},2\cos \frac{8\pi }{9}$$
で与えられる。これらは互いに異なる。
$$(\cos \frac{14\pi }{9}=\cos (2\pi -\frac{14\pi }{9})=\cos \frac{4\pi }{9}.)$$
　これを$1$の$9$乗根で書く。
$$\zeta =e^{2\pi i/9}=\cos \frac{2\pi i}{9}+i\sin \frac{2\pi i}{9}$$
とおくと、
$$x=\zeta +{\zeta }^8,{\zeta }^2+{\zeta }^7,{\zeta }^4+{\zeta }^5$$
となる。だから、$1$の$9$乗根から解を計算できる。
　そこで、モジュロの場合もこれを適用すればいい。$9$で割って$1$余る素数$p$に対し、モジュロ$p$での$x^3-3x+1\equiv 0\mathrm{mod}p$の解を求めてみる。

モジュロ$37$の例

計算により原始根は$2$である。$1$の$9$乗根は$4$乗元で、$4,8,12,\cdots$乗が$\zeta ,{\zeta }^2,{\zeta }^3,\cdots$に対応する。$16$を何乗もしてモジュロすればすべて出る。
$$1,16,34,26,9,33,10,12,7$$
がそれらに当たる。そこでこれらに対し
$$\zeta +{\zeta }^8,{\zeta }^2+{\zeta }^7,{\zeta }^4+{\zeta }^5$$
を計算すると、
$$16+7,34+12,9+33$$
となって$$23,9,5$$を得る。これらは実際に、
$$x^3-3x+1\equiv 0\mathrm{mod}37$$
の解になっている。