"ε-N論法を理解する"　例題の解答

$ϵ-N$論法を用いて示す.

任意の$ϵ\in {\mathbb{R}}^{+}$に対して$N$を${\displaystyle \frac{2}{ϵ}}$以上の最小の整数とする.

この時,$N\in {\mathbb{Z}}^{+}$かつ${\displaystyle \frac{2}{ϵ}\le N}$が成り立つ.

式を変形して${\displaystyle \frac{2}{N}\le ϵ}$

$n$を任意の$N<n$を満たす任意の正整数とする.

この時${\displaystyle \frac{2}{n}<\frac{2}{N}}$が成り立つ.

また,${\displaystyle |\frac{n+2}{n}-1|=\frac{2}{n}}$である.

以上から${\displaystyle |\frac{n+2}{n}-1|<ϵ}$が成り立つ.

上の議論を$ϵ-N$論法に当てはめると${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+2}{n}=1}$となることが直ちに示される.