Abelの総和公式とその使用例 (Kroneckerの補題)

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本記事では，Abelの総和公式という，数列の積の和を変形する方法を紹介し，その使用例としてKroneckerの補題を示します．

Abelの総和公式

Abelの総和公式とは，数列の積の和を変形する方法であり，部分積分の和バージョンです．

Abelの総和公式

数列 $(a_{n})_{n \in N}$ ， $(b_{n})_{n \in N}$ について， $A_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} (n \in N)$ とすると
$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} & = A_{n} b_{n} - \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) \end{aligned}$
が成り立つ．

これは部分積分と似ています．

部分積分

連続関数 $f (x)$ ， $C^{1}$ 級関数 $g (x)$ について， $F (x)$ を $f (x)$ の原始関数とすると
$\begin{array}{r} \int_{α}^{β} f (x) g (x) d x = [F (x) g (x)]_{x = α}^{x = β} - \int_{α}^{β} F (x) g^{'} (x) d x \end{array}$
が成り立つ．

$A_{0} = 0$ とし，数列の差分を $Δ b_{n} = b_{n + 1} - b_{n}$ と書くことにして，Abelの総和公式を

$\begin{array}{r} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} = [A_{k} b_{k}]_{k = 0}^{k = n} - \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} Δ b_{k} \end{array}$

と書くと，(添字の対応がやや不自然ですが) 部分積分にそっくりであることがわかります．
関数 $f (x)$ の原始関数 $F (x)$ が数列 $a_{n}$ の和 $A_{n}$ に，関数 $g (x)$ の微分 $g^{'} (x)$ が数列 $b_{n}$ の差分 $Δ b_{n}$ に対応しています．

Abelの総和公式は簡単な計算で示すことができます．

Abelの総和公式の証明

$A_{0} = 0$ とすれば，任意の $k \in N$ で $a_{k} = A_{k} - A_{k - 1}$ であるから，
$\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k} & = \sum_{k = 1}^{n} (A_{k} - A_{k - 1}) b_{k} \\ = \sum_{k = 1}^{n} (A_{k} b_{k} - A_{k - 1} b_{k - 1} + A_{k - 1} b_{k - 1} - A_{k - 1} b_{k}) \\ = \sum_{k = 1}^{n} (A_{k} b_{k} - A_{k - 1} b_{k - 1}) - \sum_{k = 1}^{n} A_{k - 1} (b_{k} - b_{k - 1}) \\ = A_{n} b_{n} - \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) \end{aligned}$
となる．
最後の行では $A_{0} = 0$ であることを用いた．

部分積分が積分の値を求めたり積分の収束性を示すときに何かと役に立つように，Abelの総和公式も和や級数についての命題を示すときに不思議と役に立ちます．

以下では，Abelの総和公式の使用例として，級数についての命題であるKroneckerの補題を示します．

使用例 (Kroneckerの補題)

Kroneckerの補題は，確率論において大数の強法則を示すためによく用いられる命題です．
確率論で用いられる命題とはいっても内容は完全に微分積分の範疇です．

Kroneckerの補題

数列 $(a_{n})_{n \in N}$ ， $(b_{n})_{n \in N}$ があり， $(b_{n})_{n \in N}$ は $b_{n} > 0 (\forall n \in N)$ で単調非減少かつ $lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ を満たすとする．
もし $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{b_{k}}$ が収束するならば，
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = 0$ である．

結論に出てくる $\frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ は，仮定に出てくる $\sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{b_{k}}$ を見れば $\frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{b_{k}} b_{k}$ と変形したくなるでしょう．
このように積の和に変形すればAbelの総和公式の出番です．

$A_{n} := \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{b_{k}} (n \in N)$ ， $A_{0} = 0$ とする．
Abelの総和公式を用いることで，
$\begin{aligned} \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} & = \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{b_{k}} b_{k} = \frac{1}{b_{n}} (A_{n} b_{n} - \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k + 1} - b_{k})) \\ = A_{n} - \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) \end{aligned}$
となる．

いま $lim_{n \to \infty} A_{n} =: A$ が存在するので， $lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = 0$ を示すには $lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) = A$ を示せばよい．

数列 $(b_{n})_{n \in N}$ は単調非減少より $b_{k + 1} - b_{k} \geq 0$ であるから，
$\begin{aligned} | \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) - A | & = | \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) - \frac{1}{b_{n}} A (b_{n} - b_{1}) - \frac{b_{1}}{b_{n}} | \\ = | \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) - \frac{1}{b_{n}} A \sum_{k = 1}^{n - 1} (b_{k + 1} - b_{k}) - \frac{b_{1}}{b_{n}} | \\ = | \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} (A_{k} - A) (b_{k + 1} - b_{k}) - \frac{b_{1}}{b_{n}} | \\ \leq \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} | A_{k} - A | (b_{k + 1} - b_{k}) + \frac{b_{1}}{b_{n}} \end{aligned}$
となる．

$ϵ > 0$ を任意にとる．
$lim_{n \to \infty} A_{n} = A$ であるから， $N \in N$ が存在して，任意の $n \geq N$ で $| A_{n} - A | < ϵ$ となる．
よって， $n > N$ で
$\begin{aligned} \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} | A_{k} - A | (b_{k + 1} - b_{k}) & = \frac{1}{b_{n}} (\sum_{k = 1}^{N - 1} | A_{k} - A | (b_{k + 1} - b_{k}) + \sum_{k = N}^{n - 1} | A_{k} - A | (b_{k + 1} - b_{k})) \\ < \frac{C}{b_{n}} + \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = N}^{n - 1} ϵ (b_{k + 1} - b_{k}) (C := \sum_{k = 1}^{N - 1} | A_{k} - A | (b_{k + 1} - b_{k}) とおいた) \\ = \frac{C}{b_{n}} + \frac{ϵ}{b_{n}} (b_{n} - b_{N}) \\ = ϵ + \frac{C^{'}}{b_{n}} (C^{'} := C - ϵ b_{N} とおいた) \end{aligned}$
となり， $lim_{n \to \infty} b_{n} = \infty$ であるから，
$\begin{aligned} \underset{n \to \infty}{lim sup} | \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) - A | & \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} (ϵ + \frac{C^{'} + b_{1}}{b_{n}}) \\ = ϵ \end{aligned}$
となる．
$ϵ > 0$ は任意であったから $lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n - 1} A_{k} (b_{k + 1} - b_{k}) = A$ であることが示され，
したがって $lim_{n \to \infty} \frac{1}{b_{n}} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = 0$ であることが示された．

ちなみに，この命題は積分についても全く同じものが成り立ちます．

積分版のKroneckerの補題

$x \geq 0$ で定義された関数 $f (x)$ ， $φ (x)$ があり， $f (x)$ は連続， $φ (x)$ は $C^{1}$ 級で， $φ (x) > 0 (\forall x \geq 0)$ で単調非減少かつ $lim_{x \to \infty} φ (x) = \infty$ であるとする．
もし $lim_{x \to \infty} \int_{0}^{x} \frac{f (t)}{φ (t)} d t$ が収束するならば，
$lim_{x \to \infty} \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} f (t) d t = 0$ である．

定義域や積分の下端が $0$ であることに特に意味はなく，任意の実数で置き換えてよいです．
また， $f (x)$ や $φ (x)$ についての仮定はもっと落とせるかもしれませんが，議論を簡単にするためにこのように置いています．

この命題は，級数のときの証明においてAbelの総和公式を使うところを部分積分に置き換えることで，級数のときと全く同じようにして示すことができます．

$F (x) = \int_{0}^{x} \frac{f (t)}{φ (t)} d t (x \geq 0)$ とおく．
部分積分を用いることで，
$\begin{aligned} \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} f (t) d t & = \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} \frac{f (t)}{φ (t)} φ (t) d t \\ = \frac{1}{φ (x)} ([F (t) φ (t)]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} F (t) φ^{'} (t) d t) \\ = F (x) - \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} F (t) φ^{'} (t) d t \end{aligned}$
となる．
いま $lim_{x \to \infty} F (x) =: A$ が存在するので， $lim_{x \to \infty} \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} f (t) d t = 0$ を示すには
$lim_{x \to \infty} \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} F (t) φ^{'} (t) d t = A$ を示せばよい．

$φ (x)$ は単調非減少より $φ^{'} (x) \geq 0$ であるから，

$\begin{aligned} | \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} F (t) φ^{'} (t) d t - A | & = | \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} F (t) φ^{'} (t) d t - \frac{1}{φ (x)} A (φ (x) - φ (0)) - \frac{φ (0)}{φ (x)} | \\ = | \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} F (t) φ^{'} (t) d t - \frac{1}{φ (x)} A \int_{0}^{x} φ^{'} (t) d t - \frac{φ (0)}{φ (x)} | \\ = | \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} (F (t) - A) φ^{'} (t) d t - \frac{φ (0)}{φ (x)} | \\ \leq \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} | F (t) - A | φ^{'} (t) d t + \frac{φ (0)}{φ (x)} \end{aligned}$
となる．

$ϵ > 0$ を任意にとる．
$lim_{x \to \infty} F (x) = A$ であるから， $R > 0$ が存在して，任意の $x \geq R$ で $| F (x) - A | < ϵ$ となる．
よって， $x \geq R$ で，
$\begin{aligned} \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} | F (t) - A | φ^{'} (t) d t & = \frac{1}{φ (x)} (\int_{0}^{R} | F (x) - A | φ^{'} (t) d t + \int_{R}^{x} | F (t) - A | φ^{'} (t) d t) \\ < \frac{C}{φ (x)} + \frac{1}{φ (x)} \int_{R}^{x} ϵ φ^{'} (t) d t (C := \int_{0}^{R} | F (x) - A | φ^{'} (t) d t とおいた) \\ = \frac{C}{φ (x)} + \frac{ϵ}{φ (x)} (φ (x) - φ (R)) \\ = ϵ + \frac{C^{'}}{φ (x)} (C^{'} := C - ϵ φ (R) とおいた) \end{aligned}$
となり， $lim_{x \to \infty} φ (x) = \infty$ であるから
$\begin{aligned} \underset{x \to \infty}{lim sup} | \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} F (t) φ^{'} (t) d t - A | & \leq \underset{x \to \infty}{lim sup} (ϵ + \frac{C^{'} + φ (0)}{φ (x)}) \\ = ϵ \end{aligned}$
となる．
$ϵ > 0$ は任意であったから $lim_{x \to \infty} \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} F (t) φ^{'} (t) d t = A$ であることが示され，
したがって $lim_{x \to \infty} \frac{1}{φ (x)} \int_{0}^{x} f (t) d t = 0$ であることが示された．

級数と積分の証明を比べると，級数では添字の範囲がややこしかったりしますが，積分では積分範囲が変わらなかったり $φ^{'} (x)$ を積分して $φ (x)$ に戻ることが一目でわかったりと，積分の方が少しわかりやすいのではないでしょうか (慣れの問題かもしれませんが)．
そのため，Abelの総和公式が使えそうな命題を示すときには，まずわかりやすい積分の方で方針を立ててから級数の方で示す，という方法が使えるかもしれません．