自作問題1の解答です。
https://mathlog.info/articles/106
図
(上の図において、点P→点Eとなっています。ABの長さの表示は気にしないで…)
<解答>
BCの中点をD,三角形BPCの外心をOとする。
(図では点O→点D’となっています。)
このとき、角BOC=120°,BO=PO=CO=2√3,
AO=4√3である。
三角形APOで余弦定理より、
$\cos \angle AOP$=$\frac{11}{12}$
$BP\lt CP$より,
$\cos \angle POB= \cos (60°- \angle AOP)
= \frac{11+ \sqrt{69}}{24} $
三角形BPOで余弦定理より,
$BP^2 = 13- \sqrt{69} $
したがって,
$
BP=\frac{ \sqrt{46}- \sqrt{6}} {2}
$$ \cdots $(答)
別解等思いつきましたら教えていただけると嬉しいです。
追記
<考え方>
図形における求値問題は、大雑把に分けて以下の2つ。
1、条件を満たす図形が一意(あるいは有限個のパターンに)
決定される。
2、条件を満たす図形は一意に決まらないが、求める値は
常に一定。
今回は前者です。
(前者より後者の方が難問が多い印象)
①角BPCの大きさが一定→点Pはある円上にある!
②APの長さが一定→点Pは①とは別の円上にある!
③だから点Pは二つの円の交点だ!
④BPとCPの大小関係から点Pが一意に決まる!
と考えました。こう考えると三角形BPCの外心を
補助点としてとる事は自然な考えだと言えそうです。
図2