双複素数の計算

双複素解析入門　第3回

今回は，前回のべき等元分解の定理を使って双複素数をべき等元分解表示，計算をします．まず，前回で紹介していなかった性質を紹介します．定理の名前から， $e, e^{†}$ がべき等元であることはわかりそうですが，改めて紹介することにします．

$e^{2} = e, {e^{†}}^{2} = e^{†} .$

では，計算していきましょう．

$Z = 1 + 2 i - j + 3 i j$ (2) $W = Z^{2}$

(1) $\begin{aligned} Z & = (1 + 2 i) + j (- 1 + 3 i) \\ = {(1 + 2 i) - i (- 1 + 3 i)} e + {(1 + 2 i) + i (- 1 + 3 i)} e^{†} \\ = (4 + 3 i) e + (- 2 + i) e^{†} . \end{aligned}$

(2) $\begin{aligned} W & = Z^{2} \\ = {(4 + 3 i) e + (- 2 + i) e^{†}} {(4 + 3 i) e + (- 2 + i) e^{†}} \\ = (4 + 3 i)^{2} e^{2} + 2 (4 + 3 i) (- 2 + i) e e^{†} + (- 2 + i)^{2} {e^{†}}^{2} \\ = (4 + 3 i)^{2} e + (- 2 + i)^{2} e^{†} . \end{aligned}$

例を確認するとわかるかもしれませんが，べき等元分解をすると $e, e^{†}$ が非常に良い性質をもっているため， $n$ 乗の計算が楽になります．

$Z = (z_{1} - i z_{2}) e + (z_{1} + i z_{2}) e^{†}, W = (w_{1} - i w_{2}) e + (w_{1} + i w_{2}) e^{†} \in BC$ に対して，
$\begin{aligned} Z + W & = & (z_{1} - i z_{2} + w_{1} - i w_{2}) e + (z_{1} + i z_{2} + w_{1} + i w_{2}) e^{†}, \\ Z W & = & (z_{1} - i z_{2}) (w_{1} - i w_{2}) e + (z_{1} + i z_{2}) (w_{1} + i w_{2}) e^{†} . \end{aligned}$
となる．さらに， $n \in N$ に対して，
$Z^{n} = (z_{1} - i z_{2})^{n} e + (z_{1} + i z_{2})^{n} e^{†}$
が成り立つ．

今回はここまでにします．ありがとうございました。次回は，この $e, e^{†}$ を用いて零因子について考察を行います．

投稿日：2020年12月3日

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投稿者

まい.

1994

大学院修士課程まで主に解析数論（素数定理周り）の研究をしていました。今はデータサイエンス関連の仕事をしています。Xでは大学数学入門資料を投稿してます。

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