双複素解析入門 第3回
今回は,前回のべき等元分解の定理を使って双複素数をべき等元分解表示,計算をします.まず,前回で紹介していなかった性質を紹介します.定理の名前から,e,e†がべき等元であることはわかりそうですが,改めて紹介することにします.
e2=e,e†2=e†.
では,計算していきましょう.
(1)Z=(1+2i)+j(−1+3i)={(1+2i)−i(−1+3i)}e+{(1+2i)+i(−1+3i)}e†=(4+3i)e+(−2+i)e†.
(2)W=Z2={(4+3i)e+(−2+i)e†}{(4+3i)e+(−2+i)e†}=(4+3i)2e2+2(4+3i)(−2+i)ee†+(−2+i)2e†2=(4+3i)2e+(−2+i)2e†.
例を確認するとわかるかもしれませんが,べき等元分解をするとe,e†が非常に良い性質をもっているため,n乗の計算が楽になります.
Z=(z1−iz2)e+(z1+iz2)e†,W=(w1−iw2)e+(w1+iw2)e†∈BCに対して,Z+W=(z1−iz2+w1−iw2)e+(z1+iz2+w1+iw2)e†,ZW=(z1−iz2)(w1−iw2)e+(z1+iz2)(w1+iw2)e†.となる.さらに,n∈Nに対して,Zn=(z1−iz2)ne+(z1+iz2)ne†が成り立つ.
今回はここまでにします.ありがとうございました。次回は,このe,e†を用いて零因子について考察を行います.
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