2020/12/03に出題した問題です。
https://twitter.com/sounansya_29/status/1314883373463031808?s=21
∑0≤n,k(−1)n+k(2n+1)(2k+1)(2n+2k+1)
[解説]
∑0≤n,k(−1)n+k(2n+1)(2k+1)(2n+2k+1)=∑0≤n,k(−1)n+k(2n+1)(2k+1)∫01x2n+2kdx=∫011x2∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1∑k=0∞(−1)k2k+1x2k+1dx=∫01arctan2xx2dx=∫0π4t2tan2tcos2tdt (x=tant)=∫0π4t2sin2tdt=[−t2tant]0π4+2∫0π4ttantdt=−π216+2[tlogsinx]0π4−2∫0π4logsinxdx=−π216−π4log2+2∫0π4log12sinxdx+π2log2=π4log2−π216+2∫0π4∑n=1∞1ncos2nxdx=π4log2−π216+2∑n=1∞1n∫0π4cos2nxdx=π4log2−π216+∑n=1∞sinπn2n2=π4log2−π216+∑n=0∞(−1)n(2n+1)2=π4log2−π216+G
よって、この問題の解答はπ4log2−π216+Gとなります。
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