三角関数　和積の公式

149

和積の公式とは

和積の公式には、「積→和」と「和→積」に変換する2パターンがあります。
今回は、「和→積」の場合を解説します。

和積の公式

$・ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$
$・ \sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$
$・ \cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$
$・ \cos A - \cos B = - 2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$

和積の公式の導出方法

和積の公式は、積和公式を変形させることで導出できます。

$\sin α \cos β = \frac{1}{2} {\sin (α + β) + \sin (α - β)} ・・・ ①$
$\cos α \sin β = \frac{1}{2} {\sin (α + β) - \sin (α - β)} ・・・ ②$
$\cos α \cos β = \frac{1}{2} {\cos (α + β) + \cos (α - β)} ・・・ ③$
$\sin α \sin β = \frac{1}{2} {\cos (α + β) - \cos (α - β)} ・・・ ④$

$α + β = A, α - β = B とおくと$
$α = \frac{A + B}{2}, β = \frac{A - B}{2} ・・・ ⑤$
⑤を①に代入すると
$\sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} = \frac{1}{2} (\sin A + \sin B)$
したがって、
$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$
以下同様に、⑤を②に代入すると、
$\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$
**
⑤を③に代入すると、 $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}$
**
⑤を④に代入すると、
$\cos A - \cos B = - 2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2}$

$0 ≦ θ < π の時、次の問題を解け。$
$\sin θ + \sin 2 θ + \sin 3 θ = 0$

この問題の場合、2倍角の公式や3倍角の公式を使うと、計算が大変になってしまうので、この問題式の3項のうち2項を組み合わせて、和積の公式を用いて式変形をしていきます。

【解答】
$\sin θ + \sin 2 θ + \sin 3 θ = 0 より$
$(\sin θ + \sin 3 θ) + \sin 2 θ = 0 ・・・ ①$
ここで、和積の公式より、
$\sin θ + \sin 3 θ = 2 \sin \frac{θ + 3 θ}{2} \cos \frac{θ - 3 θ}{2}$
$= 2 \sin 2 θ \cos (- θ)$
$= 2 \sin 2 θ \cos θ ・・・ ②$
②を①に代入すると、
$2 \sin 2 θ \cos θ + \sin 2 θ = 0$
よって、
$\sin 2 θ (2 \cos θ + 1) = 0$
したがって
$\sin 2 θ = 0 または 2 \cos θ + 1 = 0$
$0 ≦ θ ≦ π より 0 ≦ 2 θ ≦ 2 π$
$この範囲で \sin 2 θ = 0 を解くと、$
$2 θ = 0, π, 2 π$
$よって、 θ = 0, π, 2 π$
$0 ≦ θ ≦ π の範囲で \cos θ = - \frac{1}{2} を解くと、$
$θ = \frac{2}{3} π$
したがって、解は
$θ = 0, \frac{π}{2}, \frac{2}{3} π, π$