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三角関数 和積の公式

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和積の公式とは

和積の公式には、「積→和」「和→積」に変換する2パターンがあります。
今回は、「和→積」の場合を解説します。

和積の公式

$$ ・\sin \normalsize{A} + \sin\normalsize{B}=2\sin \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\cos \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2} $$
$$ ・\sin \normalsize{A} - \sin\normalsize{B}=2\cos \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\sin \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2} $$
$$ ・\cos \normalsize{A} + \cos\normalsize{B}=2\cos \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\cos \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2} $$
$$ ・\cos \normalsize{A} - \cos\normalsize{B}=-2\sin \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\sin \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2} $$

和積の公式の導出方法

和積の公式は、積和公式を変形させることで導出できます。

$$ \sin \alpha \cos\beta = \frac{1}{2} \lbrace \sin \left( \alpha + \beta \right) + \sin \left( \alpha - \beta \right) \rbrace ・・・① $$
$$ \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \lbrace \sin \left( \alpha + \beta \right) - \sin \left( \alpha - \beta \right) \rbrace ・・・② $$
$$ \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \lbrace \cos \left( \alpha + \beta \right) + \cos \left( \alpha - \beta \right) \rbrace ・・・③ $$
$$ \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \lbrace \cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) \rbrace ・・・④ $$

$$ \alpha + \beta ={A},\alpha - \beta ={B}とおくと $$
$$ \alpha = \frac{{A} + {B}}{2} ,\beta =\frac{{A} - {B}}{2}・・・⑤ $$
⑤を①に代入すると
$$ \sin\frac{{A} + {B}}{2} \cos \frac{{A} - {B}}{2} = \frac{1}{2} \left( \sin{A} + \sin{B} \right) $$
したがって、
$$ \sin {A} + \sin{B}=2\sin \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\cos \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2} $$
以下同様に、⑤を②に代入すると、
$$ \sin \normalsize{A} - \sin\normalsize{B}=2\cos \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\sin \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2} $$
**
⑤を③に代入すると、
$$ \cos \normalsize{A} + \cos\normalsize{B}=2\cos \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\cos \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2} $$
**
⑤を④に代入すると、
$$ \cos \normalsize{A} - \cos\normalsize{B}=-2\sin \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\sin \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2} $$

$$ 0 \leqq \theta \lt \pi の時、次の問題を解け。 $$
$$ \sin \theta + \sin 2\theta + \sin 3\theta = 0 $$

この問題の場合、2倍角の公式や3倍角の公式を使うと、計算が大変になってしまうので、この問題式の3項のうち2項を組み合わせて、和積の公式を用いて式変形をしていきます。

【解答】
$$ \sin \theta + \sin 2\theta + \sin 3\theta = 0 \ より $$
$$ \left( \sin \theta + \sin 3\theta \right) + \sin 2\theta=0 ・・・① $$
ここで、和積の公式より、
$$ \sin \theta + \sin 3\theta = 2 \sin \frac{\theta + 3\theta}{2} \cos\frac{\theta - 3\theta}{2} $$
$$ \qquad \qquad \qquad = 2\sin 2\theta \cos \left(-\theta \right) $$
$$ \qquad \qquad \qquad =2\sin2\theta\cos\theta・・・② $$
②を①に代入すると、
$$ 2\sin2\theta\cos\theta + \sin2\theta = 0 $$
よって、
$$ \sin2\theta\left(2\cos\theta+1\right)=0 $$
したがって
$$ \sin2\theta=0 \ または \ 2\cos\theta+1=0 $$
$$ 0 \leqq \theta \leqq \pi \ より 0 \leqq 2\theta \leqq 2 \pi $$
$$ この範囲で\sin2\theta=0 \ を解くと、 $$
$$ 2\theta=0,\pi,2\pi $$
$$ よって、\theta = 0,\pi,2\pi $$
$$ 0 \leqq \theta \leqq \pi \ の範囲で\cos\theta = -\frac{1}{2} \ を解くと、 $$
$$ \theta = \frac{2}{3}\pi $$
したがって、解は
$$ \theta=0,\frac{\pi}{2},\frac{2}{3}\pi,\pi $$

まとめ

いかがでしたか?
今回解説したように、和積の公式は加法定理から簡単に導くことができます。
積和・和積公式に限らず、公式は丸暗記ではなく、必要に応じて、その時々に導ける力をつけておくことが重要です。
繰り返し練習して定着させましょう‼

投稿日:2020124

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