三角関数 和積の公式
和積の公式とは
和積の公式には、「積→和」と「和→積」に変換する2パターンがあります。
今回は、「和→積」の場合を解説します。
$$
・\sin \normalsize{A} + \sin\normalsize{B}=2\sin \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\cos \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2}
$$
$$
・\sin \normalsize{A} - \sin\normalsize{B}=2\cos \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\sin \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2}
$$
$$
・\cos \normalsize{A} + \cos\normalsize{B}=2\cos \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\cos \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2}
$$
$$
・\cos \normalsize{A} - \cos\normalsize{B}=-2\sin \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\sin \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2}
$$
和積の公式の導出方法
和積の公式は、積和公式を変形させることで導出できます。
$$
\sin \alpha \cos\beta = \frac{1}{2} \lbrace \sin \left( \alpha + \beta \right) + \sin \left( \alpha - \beta \right) \rbrace ・・・①
$$
$$
\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \lbrace \sin \left( \alpha + \beta \right) - \sin \left( \alpha - \beta \right) \rbrace ・・・②
$$
$$
\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \lbrace \cos \left( \alpha + \beta \right) + \cos \left( \alpha - \beta \right) \rbrace ・・・③
$$
$$
\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} \lbrace \cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) \rbrace ・・・④
$$
$$
\alpha + \beta ={A},\alpha - \beta ={B}とおくと
$$
$$
\alpha = \frac{{A} + {B}}{2} ,\beta =\frac{{A} - {B}}{2}・・・⑤
$$
⑤を①に代入すると
$$
\sin\frac{{A} + {B}}{2} \cos \frac{{A} - {B}}{2} = \frac{1}{2} \left( \sin{A} + \sin{B} \right)
$$
したがって、
$$
\sin {A} + \sin{B}=2\sin \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\cos \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2}
$$
以下同様に、⑤を②に代入すると、
$$
\sin \normalsize{A} - \sin\normalsize{B}=2\cos \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\sin \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2}
$$
**
⑤を③に代入すると、
$$
\cos \normalsize{A} + \cos\normalsize{B}=2\cos \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\cos \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2}
$$
**
⑤を④に代入すると、
$$
\cos \normalsize{A} - \cos\normalsize{B}=-2\sin \frac{\normalsize{A} + \normalsize{B}}{2}\sin \frac{\normalsize{A} - \normalsize{B}}{2}
$$
$$
0 \leqq \theta \lt \pi の時、次の問題を解け。
$$
$$
\sin \theta + \sin 2\theta + \sin 3\theta = 0
$$
この問題の場合、2倍角の公式や3倍角の公式を使うと、計算が大変になってしまうので、この問題式の3項のうち2項を組み合わせて、和積の公式を用いて式変形をしていきます。
【解答】
$$
\sin \theta + \sin 2\theta + \sin 3\theta = 0 \ より
$$
$$
\left( \sin \theta + \sin 3\theta \right) + \sin 2\theta=0 ・・・①
$$
ここで、和積の公式より、
$$
\sin \theta + \sin 3\theta = 2 \sin \frac{\theta + 3\theta}{2} \cos\frac{\theta - 3\theta}{2}
$$
$$
\qquad \qquad \qquad = 2\sin 2\theta \cos \left(-\theta \right)
$$
$$
\qquad \qquad \qquad =2\sin2\theta\cos\theta・・・②
$$
②を①に代入すると、
$$
2\sin2\theta\cos\theta + \sin2\theta = 0
$$
よって、
$$
\sin2\theta\left(2\cos\theta+1\right)=0
$$
したがって
$$
\sin2\theta=0 \ または \ 2\cos\theta+1=0
$$
$$
0 \leqq \theta \leqq \pi \ より 0 \leqq 2\theta \leqq 2 \pi
$$
$$
この範囲で\sin2\theta=0 \ を解くと、
$$
$$
2\theta=0,\pi,2\pi
$$
$$
よって、\theta = 0,\pi,2\pi
$$
$$
0 \leqq \theta \leqq \pi \ の範囲で\cos\theta = -\frac{1}{2} \ を解くと、
$$
$$
\theta = \frac{2}{3}\pi
$$
したがって、解は
$$
\theta=0,\frac{\pi}{2},\frac{2}{3}\pi,\pi
$$
まとめ
いかがでしたか？
今回解説したように、和積の公式は加法定理から簡単に導くことができます。
積和・和積公式に限らず、公式は丸暗記ではなく、必要に応じて、その時々に導ける力をつけておくことが重要です。
繰り返し練習して定着させましょう‼
