双複素数環における零因子
双複素解析入門 第4回
前回，$\mathbb{BC}$の中の零因子かつべき等元$e,e^{\dagger}$を用いて双複素数の計算を行いました．今回はこの零因子たちを用いて$\mathbb {BC}$の零因子について考えます．
0を除く双複素数環の零因子の集合を$\mathfrak{S}$とし，
$$\mathfrak{S}_{0}=\mathfrak{S} \cup\{0\}$$
と定義する．
さて，どんな双複素数が零因子となるでしょうか？いくつか例を見てみましょう．
- $Z=1+i-j+ij$ $\hspace{10mm}$(2) $W=2+i+j-2ij$
$Z'=1-ij$とすると，$Z' \neq0$であり，
\begin{align*} ZZ'&=(1+i-j+ij)(1-ij)\\ &=1-ij+i+j-j-i+ij-1\\ &=0 \end{align*}
となる．$W'=1+ij$とおくと，$W' \neq 0$であり，
\begin{align*} WW'&=(2+i+j-2ij)(1+ij)\\ &=2+2ij+i-j+j-i-2ij-2\\ &=0 \end{align*}
となる．
これらの双複素数にはどんな共通点があるかを考えてみましょう．前回紹介した，べき等元分解表示をしましょう．それぞれべき等元分解をすると，
$$Z=(2+2i)e,W=(4+2i)e^{\dagger}$$
となります．2つの例だけでは気が付きにくいかもしれませんが，$Z,W$はそれぞれ$e$もしくは$e^{\dagger}$の係数が0になっていますね．つまり，べき等元分解を行ったときの$e$の係数と$e^{\dagger}$の係数の積が$0$になるということです．これこそが双複素数環の零因子の特徴です．
双複素数環の零因子の集合は次の等式を満たす:
$$\mathfrak{S}_{0}=\{Z=(z_{1}-iz_{2})e+(z_{1}+iz_{2})e^{\dagger} \in \mathbb{BC}\ |\ (z_{1}-iz_{2})(z_{1}+iz_{2})=0\}.$$
集合の条件を整理すると，次のように書き直すこともできます．
$$\mathfrak{S}_{0}=\{Z=z_{1}+jz_{2} \in \mathbb{BC}\ |\ {z_{1}}^2+{z_{2}}^2=0\}.$$
(i) 任意に$Z \in \mathfrak{S}_{0}$をとる．このとき，$ZW=0$となる$W=w_{1}+jw_{2} \neq 0\in \mathbb{BC}$が存在する．このとき，
$$ZW=(z_{1}w_{1}-z_{2}w_{2})+j(z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1})=0,$$
つまり，
\begin{cases}
z_{1}w_{1}-z_{2}w_{2}=0\\
z_{1}w_{2}+z_{2}w_{1}=0
\end{cases}
となり，行列表示すると，
$\left[
\begin{array}{ccc}
z_{1} & -z_{2}\\
z_{2} & z_{1}
\end{array}\right]
\left[
\begin{array}{c}
w_{1}\\
w_{2}
\end{array}\right]=\bf{0}$
が成り立つ．$W \neq 0$より，この連立方程式は非自明な解をもつ．よって係数行列の行列式が$0$になるので，
${z_{1}}^2+{z_{2}}^2=0$
が成り立つ．
(ii)任意に$Z \in \{Z=z_{1}+jz_{2} \in \mathbb{BC}\ |\ {z_{1}}^2+{z_{2}}^2=0\}$をとる．このとき，${z_{1}}^2+{z_{2}}^2=(z_{1}+jz_{2})(z_{1}-jz_{2})=Z(z_{1}-jz_{2})=0$なので，$W=z_{1}-jz_{2} \neq 0$とすれば，$ZW=0$より，$Z \in \mathfrak{S}_{0}$であることがわかる．
以上の(i),(ii)より，主張は成り立つ．
双複素数の零因子の形は$e$もしくは$e^{\dagger}$の複素数倍になっていることから次の定理を得ることができます．
$$\mathbb{C}e=\{ae \in \mathbb{BC}\ |\ a \in \mathbb{C}\},$$
$$\mathbb{C}e^{\dagger}=\{be^{\dagger} \in \mathbb{BC}\ |\ b \in \mathbb{C}\}$$
とすると，次が成り立つ:
$$\mathfrak{S}_{0}=\mathbb{C}e \cup \mathbb{C}e^{\dagger},\mathbb{C}e \cap \mathbb{C}e^{\dagger}=\{0\}.$$
一般の環は零因子の構造が複雑になりますが，双複素数環においては比較的良い構造を持っていると思えますね．
今回はここまでにします．ありがとうございました．
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