大学数学基礎解説

双複素数環における零因子

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双複素解析入門　第4回

前回， $BC$ の中の零因子かつべき等元 $e, e^{†}$ を用いて双複素数の計算を行いました．今回はこの零因子たちを用いて $BC$ の零因子について考えます．

双複素数環の零因子の集合

0を除く双複素数環の零因子の集合を $S$ とし，
$S_{0} = S \cup {0}$
と定義する．

さて，どんな双複素数が零因子となるでしょうか？いくつか例を見てみましょう．

次の双複素数が零因子であることを確かめよ．

$Z = 1 + i - j + i j$ (2) $W = 2 + i + j - 2 i j$

$Z^{'} = 1 - i j$ とすると， $Z^{'} \neq 0$ であり，
$\begin{aligned} Z Z^{'} & = (1 + i - j + i j) (1 - i j) \\ = 1 - i j + i + j - j - i + i j - 1 \\ = 0 \end{aligned}$
となる．
$W^{'} = 1 + i j$ とおくと， $W^{'} \neq 0$ であり，
$\begin{aligned} W W^{'} & = (2 + i + j - 2 i j) (1 + i j) \\ = 2 + 2 i j + i - j + j - i - 2 i j - 2 \\ = 0 \end{aligned}$
となる．

これらの双複素数にはどんな共通点があるかを考えてみましょう．前回紹介した，べき等元分解表示をしましょう．それぞれべき等元分解をすると，
$Z = (2 + 2 i) e, W = (4 + 2 i) e^{†}$
となります．2つの例だけでは気が付きにくいかもしれませんが， $Z, W$ はそれぞれ $e$ もしくは $e^{†}$ の係数が0になっていますね．つまり，べき等元分解を行ったときの $e$ の係数と $e^{†}$ の係数の積が $0$ になるということです．これこそが双複素数環の零因子の特徴です．

双複素数環の零因子の集合は次の等式を満たす:
$S_{0} = {Z = (z_{1} - i z_{2}) e + (z_{1} + i z_{2}) e^{†} \in BC | (z_{1} - i z_{2}) (z_{1} + i z_{2}) = 0} .$

集合の条件を整理すると，次のように書き直すこともできます．
$S_{0} = {Z = z_{1} + j z_{2} \in BC | {z_{1}}^{2} + {z_{2}}^{2} = 0} .$

(i) 任意に $Z \in S_{0}$ をとる．このとき， $Z W = 0$ となる $W = w_{1} + j w_{2} \neq 0 \in BC$ が存在する．このとき，
$Z W = (z_{1} w_{1} - z_{2} w_{2}) + j (z_{1} w_{2} + z_{2} w_{1}) = 0,$
つまり，
${\begin{cases} z_{1} w_{1} - z_{2} w_{2} = 0 \\ z_{1} w_{2} + z_{2} w_{1} = 0 \end{cases}$
となり，行列表示すると，
$[\begin{array}{ccc} z_{1} & - z_{2} \\ z_{2} & z_{1} \end{array}] [\begin{matrix} w_{1} \\ w_{2} \end{matrix}] = 0$
が成り立つ． $W \neq 0$ より，この連立方程式は非自明な解をもつ．よって係数行列の行列式が $0$ になるので，
${z_{1}}^{2} + {z_{2}}^{2} = 0$
が成り立つ．
(ii)任意に $Z \in {Z = z_{1} + j z_{2} \in BC | {z_{1}}^{2} + {z_{2}}^{2} = 0}$ をとる．このとき， ${z_{1}}^{2} + {z_{2}}^{2} = (z_{1} + j z_{2}) (z_{1} - j z_{2}) = Z (z_{1} - j z_{2}) = 0$ なので， $W = z_{1} - j z_{2} \neq 0$ とすれば， $Z W = 0$ より， $Z \in S_{0}$ であることがわかる．
以上の(i),(ii)より，主張は成り立つ．