6分の1公式を拡張して拡張する

6分の1公式

高校数学に「6分の1公式」と呼ばれる公式があり, 知っているひとも多いと思います. 教科書にもコラム的な場所に載っていた思います.

この公式は, 直線と放物線, または放物線ともうひとつの放物線に囲まれた部分の面積を求める際に計算が楽になるというものです.

6分の1公式以外にも30分の1公式などいろいろありますが, それらは後の公式に含まれるとして割愛します.

一段階拡張

公式1を一段階拡張します.「ベータ関数の公式」と呼ばれることがあるそうです.

証明

(i) $\alpha\neq\beta$のとき

$x\longmapsto (\beta-\alpha)x+\alpha$とすると,
\begin{align*} (\text{L.H.S.})=(\beta-\alpha)^{m+n+1}\int_0^1x^m(1-x)^n\,dx. \end{align*}

ここで,

より,
$$=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}=(\textrm{R.H.S.}).$$

(ii) $\alpha=\beta$のとき
\begin{align*} (\text{L.H.S.})&=\int_\alpha^\alpha(x-\alpha)^m(\alpha-x)^ndx=0\\ (\text{R.H.S.})&=0 \end{align*}

高校数学の学習範囲内でも, $m$回(または$n$回)部分積分を施せばベータ関数を知らなくても示すことができます.

別の形

ベータ関数の公式ですが, わたしはこっちの形の方が好きです.

こっちの形は, $x$の符号が6分の1公式と対応しているので, 6分の1公式と比較しやすいと思います.

ちなみに, $m=1$, $n=1$とすれば,
$$\frac{(-1)^1(\beta-\alpha)^{1+1+1}1!1!}{(1+1+1)!}=-\frac{(\beta-\alpha)^3}{6}$$
となって6分の1公式を証明できました.

一段階拡張したこの公式は, ほとんどの教科書に載っていないと思いますが, 知っているひとは知っているといった感じでしょうか. 一段階一般化しただけでも利便性に欠けますね.

もう一段階拡張

ある時, 計算していてオシいということがあったので, もう一段階拡張しました.
まず「オシ」かった計算とは, 次のような積分です:

この例は雑なので$(x-1)$を展開して公式を使えばいいのですが, このように「余計な因数」がついてしまうと今までの公式が使えなくなってしまいます.

そこで作った公式がこちらです.

一気に大柄になりましたね.

左辺についてですが, $\alpha$または$\beta$が$0$のときは, わざわざこの公式を使う意味がなくなるので, いずれも$0$でないという条件を前提にしています.

証明

二項定理より,
\begin{align*} (\textrm{L.H.S.})&=\int_0^\alpha x^p(x-\alpha)^q\sum_{k=0}^r\binom{r}{k}x^{r-k}(-\beta)^k\,dx\\ &=\sum_{k=0}^r\binom{r}{k}(-\beta)^k\int_0^\alpha x^{p+r-k}(x-\alpha)^q\,dx. \end{align*}

ベータ関数の公式より,
$$=\sum_{k=0}^r\binom{r}{k}(-\beta)^k\cdot\frac{(-1)^q(p+r-k)!q!}{(p+q+r-k+1)!}\alpha^{p+q+r-k+1}.$$

整理すると,
\begin{align*} &=(-1)^q\alpha^{p+q+r+1}\sum_{k=0}^r\binom{r}{k}\frac{(p+r-k)!(q+1)!}{(q+1)(p+q+r-k+1)!}(-\beta)^k\alpha^{-k}\\ &=(-1)^q\alpha^{p+q+r+1}\sum_{k=0}^r\frac{(-1)^k\,_rC_k}{(q+1)\,_{p+q+r-k+1}C_{q+1}}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^k\\ &=\frac{(-1)^q\alpha^{p+q+r+1}}{q+1}\sum_{k=0}^r\frac{(-1)^k\,_rC_k}{\,_{q+1}H_{p+r-k+1}}\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^k\\ &=(\textrm{R.H.S.}) \end{align*}

1つ前の公式を証明

もちろんこの公式4を使って拡張する前の公式(ただし$\alpha\neq\beta$)を示すこともできます.
$$\int_\alpha^\beta(x-\alpha)^m(\beta-x)^ndx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$$
$x-\alpha\longmapsto x$とすれば,
\begin{align*} (\text{L.H.S.})&=(-1)^n\int_0^{\beta-\alpha}x^m(x-\beta+\alpha)^n\,dx\\ &=(-1)^n\int_0^{\beta-\alpha}x^m(x-\beta+\alpha)^n(x-B)^0\,dx\qquad(B:0\text{ でない実数}) \end{align*}

公式4で$(p, q, r)=(m, n, 0)$, $\alpha\longmapsto\beta-\alpha$, $\beta\longmapsto B$とすると,
\begin{align*} &=(-1)^n\cdot\frac{(-1)^n(\beta-\alpha)^{m+n+0+1}}{n+1}\cdot\frac{(-1)^0\,_0C_0}{\,_{m+0-0+1}H_{n+1}}\left(\frac{B}{\beta-\alpha}\right)^0\\ &=\frac{(-1)^n(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{n+1}\cdot\frac{m!(n+1)!}{(m+n+1)!}\\ &=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}. \end{align*}

実際に使う

最後は実際に使ってみましょう.

■ 解答
\begin{align*} \pi\int_0^1(x^3-x)^2dx&=\pi\int_0^1x^2(x-1)^2(x+1)^2dx\\ &=\pi\cdot\frac{(-1)^2\cdot 1^{2+2+2+1}}{2+1}\sum_{k=0}^2\frac{(-1)^k\,_2C_k}{\,_{2+2-k+1}H_{2+1}}\left(\frac{-1}{1}\right)^k\\ &=\frac{\pi}{3}\sum_{k=0}^2\frac{\,_2C_k}{\,_{5-k}H_3}\\ &=4\pi\sum_{k=0}^2\frac{(4-k)!}{k!(2-k)!(7-k)!}\\ &=4\pi\left(\frac{4!}{0!2!7!}+\frac{3!}{1!1!6!}+\frac{2!}{2!0!5!}\right)\\ &=\frac{8\pi}{105} \end{align*}

最後の計算は約分でたくさん消えるのでそんなに苦ではないですが, 計算ミスが心配です. ――そういう意味ではあの公式に実用性があるとは言いづらいでしょう.