この記事ではアインシュタインの和の規約を用いることがあります．逆に，あえて明示的に書くこともあります．
(ap2020の方々へ)これは数学演習第9回の大問1の解説になってます．
一応定義から…
$$ \epsilon _{ijk}=\begin{cases} 1 & ((i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)) \\ -1 & ((i,j,k)=(1,3,2),(3,2,1),(2,1,3)) \\ 0 & (otherwise) \end{cases} $$
これを使うと，三次元ベクトルの外積は$ \boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B} = \epsilon_{ijk}\boldsymbol{e_i}A_{j}B_{k} $と書ける．また，定義より$\epsilon_{ijk}=\epsilon_{jki}=\epsilon_{kij}=-\epsilon_{ikj}=-\epsilon_{kji}=-\epsilon_{jik}$(添字の付け替え)が成り立つ．
$$ \delta_{ij}=\begin{cases} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \neq j) ) \end{cases} $$
$i,j,k,l,m,m$は$1,2,3$のいずれかの値を取るとする．
\begin{align}
\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn} &= \delta_{il}\delta_{jm} \delta_{kn}+\delta_{im}\delta_{jn}\delta_{kl}+\delta_{in}\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{il}\delta_{jn}\delta_{km}-\delta_{in}\delta_{jm}\delta_{kl}-\delta_{im}\delta_{jl}\delta_{kn} \\
&=\left|
\begin{array}{ccc}
\delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\
\delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\
\delta_{kj} & \delta_{km} & \delta_{kn}
\end{array}
\right|
\end{align}
$\boldsymbol{e_{i}}(i=1,2,3)$を$x,y,z$軸方向の単位(たて)ベクトルとすると，$ \boldsymbol{e}_{i} \times \boldsymbol{e}_{j}=\epsilon_{ijk}\boldsymbol{e}_{k} $が成り立つ．したがって$\epsilon_{ijk}=(\boldsymbol{e}_{i} \times \boldsymbol{e}_{j} )\cdot \boldsymbol{e}_{k} $とスカラー三重積の形で表すことができる．これを用いると，
\begin{align} \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn} &= [(\boldsymbol{e}_{i} \times \boldsymbol{e}_{j}) \cdot \boldsymbol{e}_{k}][(\boldsymbol{e}_{l} \times \boldsymbol{e}_{m}) \cdot \boldsymbol{e}_{n}]\\ &=\left| \begin{array}{ccc} \boldsymbol{e}_{i}^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{e}_{j}^{\mathrm{T}}\\ \boldsymbol{e}_{k}^{\mathrm{T}} \end{array} \right| \left| \begin{array}{ccc} \boldsymbol{e}_{l} & \boldsymbol{e}_{m} & \boldsymbol{e}_{n} \\ \end{array} \right| \\ &= \left| \begin{array}{ccc} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kj} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{array} \right| \end{align}
これをそのまま使うことはほぼなく，次の形で使うことが多い．
$$\sum_{m=1}^{3}\epsilon_{mij}\epsilon_{mkl}=\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk} $$
$$ \sum_{m=1}^{3}\sum_{n=1}^{3}\epsilon_{mni}\epsilon_{mnj}=2\delta_{ij} $$
\begin{align} \epsilon_{mij}\epsilon_{mkl}&=\left| \begin{array}{ccc} \delta_{mm} & \delta_{mk} & \delta_{ml} \\ \delta_{im} & \delta_{ik} & \delta_{il} \\ \delta_{jm} & \delta_{jk} & \delta_{jl} \end{array} \right| \\ &=\sum_{m=1}^{3}\delta_{mm}\left| \begin{array}{ccc} \delta_{ik} & \delta_{il}\\ \delta_{jk} & \delta_{jl} \\ \end{array} \right| -\sum_{m=1}^{3}\delta_{im}\left| \begin{array}{ccc} \delta_{mk} & \delta_{ml}\\ \delta_{jk} & \delta_{jl} \\ \end{array} \right| +\sum_{m=1}^{3}\delta_{jm}\left| \begin{array}{ccc} \delta_{mk} & \delta_{ml}\\ \delta_{ik} & \delta_{il} \\ \end{array} \right|\\ &=3\left| \begin{array}{ccc} \delta_{ik} & \delta_{il}\\ \delta_{jk} & \delta_{jl} \\ \end{array} \right| -\left| \begin{array}{ccc} \delta_{ik} & \delta_{il}\\ \delta_{jk} & \delta_{jl} \\ \end{array} \right| +\left| \begin{array}{ccc} \delta_{jk} & \delta_{ml}\\ \delta_{ik} & \delta_{il} \\ \end{array} \right|\\ &=\left| \begin{array}{ccc} \delta_{ik} & \delta_{il}\\ \delta_{jk} & \delta_{jl} \\ \end{array} \right|\\ &=\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk} \end{align}
\begin{align} \epsilon_{mni}\epsilon_{mnj}&=\left| \begin{array}{ccc} \delta_{mm} & \delta_{mn} & \delta_{mj} \\ \delta_{nm} & \delta_{nn} & \delta_{nl} \\ \delta_{im} & \delta_{in} & \delta_{ij} \end{array} \right| \\ &=\sum_{m,n=1}^{3}\delta_{mm}\left| \begin{array}{ccc} \delta_{nn} & \delta_{nj}\\ \delta_{in} & \delta_{ij} \\ \end{array} \right| -\sum_{m,n=1}^{3}\delta_{nm}\left| \begin{array}{ccc} \delta_{mn} & \delta_{mj}\\ \delta_{in} & \delta_{ij} \\ \end{array} \right| +\sum_{m,n=1}^{3}\delta_{im}\left| \begin{array}{ccc} \delta_{mn} & \delta_{mj}\\ \delta_{nn} & \delta_{nj} \\ \end{array} \right|\\ &=\sum_{n=1}^{3}3(\delta_{nn}\delta_{ij}-\delta_{in}\delta_{nj})-\sum_{n=1}^{3}(\delta_{nn}\delta_{ij}-\delta_{in}\delta_{nj})+\sum_{n=1}^{3}(\delta_{in}\delta_{nj}-\delta_{nn}\delta_{ij})\\ &=\sum_{n=1}^{3}(\delta_{nn}\delta_{ij}-\delta_{in}\delta_{nj})\\ &=3\delta_{ij}-\delta_{ij}\\ &=2\delta_{ij} \end{align}
どんな時に左辺が非ゼロになるのかを考えるとわかりやすいと思います．
公式2の場合を考えると，左辺は$m\neq i\neq j \neq m$，かつ$m\neq k\neq l \neq m$でないと値はゼロになってしまいます．この時，添字$i,j,k,l$が取りうる値は2通りしかないので$i=m$かつ$j=l$，または$i=l$かつ$j=m$しかあり得ません．添字の巡回性から，前者は置換の符号が一致するため$+1$，後者は一致しないため$-1$を与えます．このことをKroneckerのデルタで表現すると公式2の右辺になります．
上の証明では明示的に$\sum$を書いたので混乱はないと思われるが，一行目の行列式の
「$\delta_{mm}$」を「$1$」と書いてしまうとミスってしまう．
ベクトル解析では様々な公式が登場するが，これらの記号を上手く使いこなすことができれば非常にスマートに示すことができる．
$\boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{B})=\boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A})-\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B})$を示せ．
\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot(\boldsymbol{A}\times \boldsymbol{b})&=\epsilon_{ijk}\partial_{i}A_{j}B_{k}\\ &=\epsilon_{ijk}B_{k}\partial_{i}A_{j}+\epsilon_{ijk}A_{j}\partial_{i}B_{k}\\ &=\epsilon_{ijk}B_{i}\partial_{j}A_{k}-\epsilon_{ijk}A_{i}\partial_{j}B_{k}\\ &=\boldsymbol{B}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A})-\boldsymbol{A}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B}) \end{align}
$\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})=(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A}-(\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{B})-\boldsymbol{B}(\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A})$を示せ．
\begin{align} [\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})]_{i}&=\epsilon_{ijk}\partial_{j}(\boldsymbol{A} \times \boldsymbol{B})_{k}\\ &=\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}\partial_{j}A_{l}B_{m}\\ &=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})(B_{m}\partial_{j}A_{l}+A_{l}\partial_{j}B_{m})\\ &=B_{j}\partial_{j}A_{i}-A_{j}\partial_{j}B_{i}+A_{i}\partial_{j}B_{j}-B_{i}\partial_{j}A_{j}\\ &=[(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A}-(\boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{B})-\boldsymbol{B}(\boldsymbol{\nabla}\cdot \boldsymbol{A})]_{i} \end{align}
Levi-Civita 記号は添字を巡回的に付け替えても良いことに注意．
すっごく簡単に示せました！最高！
これを使うと大体のベクトル解析の公式は示せると思うのですが，次の問題だけはスマートなやり方が思い浮かばない…
$\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})=(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{B}+(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B})+\boldsymbol{B}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A})$を示せ．
右辺をゴリゴリやって左辺に一致するのを見るのは非常に簡単です．
\begin{align}
&[(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{B}+(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{B})+\boldsymbol{B}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{A})]_{i}\\
&=A_{j}\partial_{j}B_{i}+B_{j}\partial_{j}A_{i}+\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}(A_{j}\partial_{l}B_{m}+B_{j}\partial_{l}A_{m})\\
&=A_{j}\partial_{j}B_{i}+B_{j}\partial_{j}A_{i}+(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})(A_{j}\partial_{l}B_{m}+B_{j}\partial_{l}A_{m})\\
&=A_{j}\partial_{i}B_{j}+B_{j}\partial_{i}A_{j}=\partial_{i}(A_{j}B_{j})=[\boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B})]_{i}
\end{align}
でも，やっぱり左辺から右辺を自然に導けないとなんか負けた気がするんですよね．どなたか上手いやり方を知っている人がいたら教えて欲しいです．
僕の知る限りでは ときわ台学さん のやり方が最善な気がしています(若干トリッキーな感じはするけど)．
Levi-Civita記号とお友達になって楽しいベクトル解析ライフを！(おわり)