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大学数学基礎解説
自作問題の解説
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今日ツイートした問題の解説です。
https://twitter.com/tria_math/status/1335597863800193026?s=19
問題
$k$次多項式$f(x)$は$f(i)=2^i(i=0,1,...,k)$を満たす.
$f(2k+1)$の値を求めよ.
$k$次多項式$f(x)$は$f(i)=2^i(i=0,1,...,k)$を満たす.
$f(2k+1)$の値を求めよ.
解説
整数$n$に対して$\displaystyle g(n)=\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}$とします
($n< i$のとき$\displaystyle\binom{n}{i}=0$)
このとき、$g(n)$は上の条件を満たし、$n$の$k$次多項式と見ることができます。
条件から$f(x)$は一意に定まるので$f(n)=g(n)$であり、$\displaystyle f(2k+1)=\sum_{i=0}^k\binom{2k+1}{i}=2^{2k}$です.
整数$n$に対して$\displaystyle g(n)=\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}$とします
($n< i$のとき$\displaystyle\binom{n}{i}=0$)
このとき、$g(n)$は上の条件を満たし、$n$の$k$次多項式と見ることができます。
条件から$f(x)$は一意に定まるので$f(n)=g(n)$であり、$\displaystyle f(2k+1)=\sum_{i=0}^k\binom{2k+1}{i}=2^{2k}$です.
投稿日：2020年12月6日
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