位相群の定義の連続性について。

・(3)$\Longrightarrow$(4)について。
写像$g';G\times G\longrightarrow G\times G\space; g'(x,y):=(g(x),y)=(x^{-1},y) $を用いると写像の等式「$h=f \circ g'$」と命題「$g$が連続$\Longrightarrow g'$は連続」が成り立つ（補題２として後述）ため、連続写像の合成写像は連続な事（補題３として後述）と合わせて$(3)\Longrightarrow (4)$が示される。
・$(4)\Longrightarrow (3)$について。
$g$の連続性・・・$e$を$G$の単位元とする。２つの連続写像$i:G\longrightarrow G\times \lbrace e \rbrace \space;i(x):=(x,e) $と$h|_{G\times \lbrace e \rbrace} $（制限$h|_{G\times \lbrace e \rbrace} $が連続写像な事は補題４として後述）を用いると、$g=h|_{G\times \lbrace e \rbrace}\circ i$これは連続写像の合成なので$g$は連続（補題３の事）。

$f$の連続性・・・$g'$は$g'$自身を逆写像に持つ全単射な事に注意する。$;g'^{-1}=g'$
$h=f \circ g'$に関して、$g'$は逆写像$g'^{-1}=g'$を持つので$f=h\circ g'^{-1}=h\circ g'$が成り立つ。$g$は連続な事が上で示されたので後述の補題２により$g'$も連続になるため、連続写像の合成写像である$f$は連続（補題３）。
したがって$(3)\Longleftrightarrow (4)$ 。 　▯

　$G\times G$の開集合$U$は、$G$の開集合の直積の和で書き表される。；$U=\bigcup_{ \lambda\in \varLambda}V_\lambda\times W_\lambda$
　これら開集合の直積集合の内の１つ$V\times W$に着目して、まずは$g'^{-1}(V\times W)$が開集合な事を示す。
$V\times W=\bigcup_{y\in W}(V\times \lbrace y \rbrace )\space(=\bigcup_{y\in W}(V,y)$)なので$g'^{-1}(V\times W)=g^{-1}(V)\times W$が成り立ち、$g$の連続性から$g^{-1}(V)$は$G$の開集合なので、$g'^{-1}(V\times W)=g^{-1}(V)\times W$は$G\times G$の開集合。
　したがって$g'^{-1}(U)=g'^{-1}(\bigcup_{ \lambda\in \varLambda}V_\lambda\times W_\lambda)=\bigcup_{ \lambda\in \varLambda}g'^{-1}(V_\lambda\times W_\lambda)$の右辺の各$g'^{-1}(V_\lambda\times W_\lambda )$も同様に計算すれば開集合なため、その和集合$g'^{-1}(U)$も開集合。　▯

$a:A\longrightarrow B$、$b:B\longrightarrow C$を連続写像とする。
$U$を$C$の開集合とすると$b^{-1}(U)$は$B$の開集合なため$a^{-1}(b^{-1}(U))$は$A$の開集合になる事と、$(b\circ a)^{-1}(U)=a^{-1}(b^{-1}(U))$から$b\circ a$は連続。　▯

定義に関する注意として、$F:X\longrightarrow Y$が連続写像な時、定義域を部分集合$X'$へ制限した写像が連続であるとは、$X$の部分位相空間$X'$上の写像として連続な事を言う。
$U$を$Y$の開集合とする。$(F|_{X'})^{-1}(U)=X' \cap F^{-1}(U)$が成り立ち、$ X' \cap F^{-1}(U) $は$X'$の開集合な事から$F|_{X'}$は連続写像。