三角形の角の二等分線の長さの特殊解法

問題

$△ABC$において、$∠BAC$の二等分線と線分$BC$の交点を$D$とする。$AB=6$,$AC=3$,$∠BAC=120°$とする。このとき、線分$AD$の長さを求めよ。

雑談

私"磐城ゆうか"はこの記事が初投稿です。改善点は遠慮なく教えてほしい。

この問題は普通に三角形の面積の公式を用いて解いてもいいが、ここは面積を使わずに解いてみる。
本当は画像を見せたいのだが、残念ながら私の技術ではできないので自分で図を書いてほしい。

解法

求める線分$AD$の長さを$x$とする。
直線$AD$と点$B$を通る線分$AC$に平行な直線との交点を$E$とする。
角の二等分線の性質より
$BD:CD=2:1$
$△EDB∽△ADC$であり、相似比は$2:1$
\begin{eqnarray} ED:x&=&2:1\\ ED&=&2x \end{eqnarray}
$△ABE$は正三角形より
\begin{eqnarray} 2x+x&=&6\\ x&=&2\\ ∴AD&=&2　　□ \end{eqnarray}