ゴリ押さずに解く

ヨビノリさんの今週の積分No.100を見ていてふと思いたったので、

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}$$\sqrt{\tan x}$$dx$ を解きます。

ー解答ー

求める積分を$I$とします。

$t=\sqrt{\tan x}$ とおくと、$I={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2t^2}{1+t^4}dt-\mathrm{①}}$となります。

さらに、$t={\displaystyle \frac{1}{u}}$ と置換することで、

$I={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2(1/u{)}^2}{1+(1/u{)}^4}\frac{du}{u^2}={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{1+u^4}du-\mathrm{②}}}$のようになります。

①と②を足し算します。（文字は$u$に統一しておきます。）

$2I={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{1+u^4}du+{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2u^2}{1+u^4}du=2{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{u^2+1}{u^4+1}du}}}$

被積分関数が偶関数なので、$2I={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{u^2+1}{u^4+1}du}$ です。

ここで、分子を$(u^2+\sqrt{2}u+1)-\sqrt{2}u$ という風にしてあげます。分母が$u^4+1=(u^2+1{)}^2-2u^2=(u^2+\sqrt{2}u+1)(u^2-\sqrt{2}u+1)$ と因数分解できることを頭に入れながら式変形していきます。

$\begin{array}{rcl}2I& =& {\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{(u^2+\sqrt{2}u+1)-\sqrt{2}u}{(u^2+\sqrt{2}u+1)(u^2-\sqrt{2}u+1)}du}\\ & =& {\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{u^2-\sqrt{2}u+1}du-{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sqrt{2}u}{u^4+1}du}}\end{array}$

すると、２つ目の積分は、被積分関数が奇関数であることからゼロになります。よって計算すべきは１つ目の積分のみになります。

あとはお決まりパターンなので一気にいきます。

$2I={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{u^2-\sqrt{2}u+1}du=\sqrt{2}\pi }$

（原始関数は$-\sqrt{2}\arctan (1-\sqrt{2}x)$です）

$$\therefore I=\frac{\pi }{\sqrt{2}}$$