ゴリ押さずに解く

ヨビノリさんの今週の積分No.100を見ていてふと思いたったので、

$ \displaystyle\int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} $$ \sqrt{ \tan x} $$dx$ を解きます。

ー解答ー

求める積分を$I$とします。

$t=\sqrt{ \tan x}$ とおくと、$I= \displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{2t^2}{1+t^4}\ dt\ \ -\ \ ①\ \ $となります。

さらに、$t= \displaystyle\frac{1}{u}$ と置換することで、

$I= \displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{2(1/u)^2}{1+(1/u)^4}\ \frac{du}{u^2}= \displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{2}{1+u^4}\ du\ \ -②\ \ $のようになります。

①と②を足し算します。（文字は$u$に統一しておきます。）

$2I\ =\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{2}{1+u^4}\ du +\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{2u^2}{1+u^4}\ du\ =2\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{u^2+1}{u^4+1}\ du$

被積分関数が偶関数なので、$2I\ =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{u^2+1}{u^4+1}\ du $ です。

ここで、分子を$(u^2+ \sqrt{2}u+1)\ -\sqrt{2}u$ という風にしてあげます。分母が$u^4+1=(u^2+1)^2-2u^2=(u^2+ \sqrt{2}u+1)(u^2- \sqrt{2}u+1)$ と因数分解できることを頭に入れながら式変形していきます。

$\begin{eqnarray} 2I\ &=&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{(u^2+ \sqrt{2}u+1)\ -\sqrt{2}u}{(u^2+ \sqrt{2}u+1)(u^2- \sqrt{2}u+1)}\ du\\ &=&\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{u^2- \sqrt{2}u+1}\ du\ -\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{ \sqrt{2}u}{u^4+1}\ du \end{eqnarray}$

すると、２つ目の積分は、被積分関数が奇関数であることからゼロになります。よって計算すべきは１つ目の積分のみになります。

あとはお決まりパターンなので一気にいきます。

$2I\ =\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{u^2- \sqrt{2}u+1}\ du\ = \sqrt{2} \pi$

（原始関数は$- \sqrt{2}\arctan(1-\sqrt{2}x)$です）

$$ \therefore I\ = \frac{\pi}{\sqrt{2}} $$