実円分体の整数環と判別式

　$\a\in\Z[\z]$に対し
$$\a=\sum^{p-1}_{k=1}a_k\z^k\quad(a_k\in\Z)$$
とおくとこれが実数であるためには$\a=\ol\a$、つまり$a_k=a_{p-k}$となることが必要十分であり、そのとき
$$\a=\sum^m_{k=1}a_k(\z^k+\z^{-k})$$
と表せるので主張を得る。

$\z^k+\z^{-k}=(\zcos)(\z^{k-1}+\z^{-(k-1)})-(\z^{k-2}+\z^{-(k-2)})$
に注意すると数学的帰納法から示せる。

　いま$\zcos$の共役元は($\Q(\z)$の共役写像から)$\z^{k}+\z^{-k}\;(k=1,2,\ldots,m)$であるので
$$D_\k=\det((\z^j+\z^{-j})^{i-1})^2$$
と表せれることに注意する。
　以下簡単のため$\theta=\frac{\pi}{p}$とおく。このとき$\zcos=2\cos(2\t)$に注意するとヴァンデルモンドの行列式から
\begin{align} \det((\z^j+\z^{-j})^{i-1})^2 &=\prod_{1\leq i< j\leq m}(2(\cos(2i\t)-\cos(2j\t)))^2\\ &=(-1)^{\frac{m(m-1)}2}\prod_{i\neq j}2(\cos(2i\t)-\cos(2j\t))\\ &=(-1)^{\frac{m(m-1)}2}\prod_{i\neq j}4\sin((j-i)\t)\sin((j+i)\t)\\ &=(-1)^{\frac{m(m-1)}2}\prod^m_{j=1}\frac1{4\sin(j\t)\sin(2j\t)}\prod^{m+j}_{\substack{k=j-m\\k\neq0}}2\sin k\t\\ &=(-1)^{\frac{m(m-1)}2}\prod^m_{j=1}\frac{(-1)^{m-j}}{4\sin^2(j\t)\cdot2\cos(j\t)}\prod^{p-1}_{k=1}2\sin k\t\\ &=\l(\prod^{p-1}_{k=1}2\sin\frac{\pi k}{p}\r)^{m-1}\prod^m_{j=1}\frac1{2\cos\frac{\pi j}p} \end{align}
を得る。

　左辺の各項は正であることに注意すると
\begin{align} \prod^{n-1}_{k=1}\sin\frac{\pi k}{n} &=\prod^{n-1}_{k=1}\l|\frac{e^{\farc{i\pi k}{n}}-e^{-\farc{i\pi k}{n}}}{2i}\r| =\frac1{2^{n-1}}\l|\prod^{n-1}_{k=1}(1-\z_n^k)\r|\\ &=\frac1{2^{n-1}}(x^n-1)'|_{x=1}=\frac{n}{2^{n-1}} \end{align}
とわかる。

　奇数$n$に対して$l=(n-1)/2$とおくと
\begin{align} \prod^{n-1}_{k=1}2\sin\frac{\pi k}n\cdot2\cos\frac{\pi k}n &=\prod^{n-1}_{k=1}2\sin\frac{2\pi k}n\\ &=\prod^l_{k=1}2\sin\frac{2\pi k}n\prod^l_{k=1}-2\sin\l(\pi-\frac{2k\pi}n\r)\\ &=(-1)^l\prod^l_{k=1}2\sin\frac{2\pi k}n\prod^l_{k=1}2\sin\frac{(2k-1)\pi}n\\ &=(-1)^l\prod^{n-1}_{k=1}2\sin\frac{\pi k}n \end{align}
より
$$(-1)^l\prod^{n-1}_{k=1}2\cos\frac{\pi k}n=1=\prod^l_{k=1}2\cos\frac{\pi k}n$$
が成り立つことに注意するとわかる。