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実円分体の整数環と判別式

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$$\newcommand{a}[0]{\alpha} \newcommand{b}[0]{\beta} \newcommand{dis}[0]{\displaystyle} \newcommand{e}[0]{\varepsilon} \newcommand{em}[0]{^{-1}} \newcommand{farc}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{g}[0]{\gamma} \newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{k}[0]{{K^+}} \newcommand{kk}[0]{_{K^+}} \newcommand{l}[0]{\left} \newcommand{mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{N}[0]{\mathrm{N}_{k/\mathbb{Q}}} \newcommand{ndiv}[0]{\!\!\not|} \newcommand{O}[0]{\mathcal{O}} \newcommand{o}[0]{\omega} \newcommand{OK}[0]{\mathcal{O}_{K^+}} \newcommand{ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{ord}[0]{\mathrm{ord}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{r}[0]{\right} \newcommand{t}[0]{\theta} \newcommand{Tr}[0]{\mathrm{Tr}_{k/\mathbb{Q}}} \newcommand{ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{vare}[0]{\varepsilon} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} \newcommand{zcos}[0]{\z+\z^{-1}} $$

はじめに

 この記事では円分体$K=\Q(\z)$の最大実部分体こと実円分体$\k=K\cap\R=\Q(\z+\z^{-1})$の整数環と判別式について解説していきます。
 ここで$\z$$1$の原始$n$乗根$\z_n$としたいところですが、一般の自然数$n$については色々と煩雑になるのでこの記事では$n=p$ (奇素数)とします。また簡単のため$m=(p-1)/2$とおきます。
 いま$\k$の整数環$\O_\k=\k\cap\ol\Z$およびその判別式$D_\k$

実円分体の整数環

$\O_\k=\Z[\z+\z^{-1}]$

実円分体の判別式

$D_\k=p^{\frac{p-3}{2}}$

と求まります。

整数環

 $\z^k+\z^{-k}\;(k=1,2,\ldots,m)$$\OK$の整数底となる。

 $\a\in\Z[\z]$に対し
$$\a=\sum^{p-1}_{k=1}a_k\z^k\quad(a_k\in\Z)$$
とおくとこれが実数であるためには$\a=\ol\a$、つまり$a_k=a_{p-k}$となることが必要十分であり、そのとき
$$\a=\sum^m_{k=1}a_k(\z^k+\z^{-k})$$
と表せるので主張を得る。

 $\z^k+\z^{-k}$$(\z+\z\em)$$k$次整数係数多項式として表せ、特に$(\z+\z\em)^k$の係数は$1$である。

$\z^k+\z^{-k}=(\zcos)(\z^{k-1}+\z^{-(k-1)})-(\z^{k-2}+\z^{-(k-2)})$
に注意すると数学的帰納法から示せる。

 いま補題3から$\z^k+\z^{-k}$$(\z+\z^{-1})^k$
$$\begin{pmatrix}\z+\z^{-1}\\\z^2+\z^{-2}\\\vdots\\\z^m+\z^{-m}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&&&\huge{*}\\&1&&\\&&\ddots&\\0&&&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\zcos\\(\zcos)^2\\\vdots\\(\zcos)^m\end{pmatrix}$$
と行列式$1$の整数行列によって写り合うので$(\z+\z^{-1})^k$$\OK$の整数底となる、つまり
$$\O_\k=\Z[\z+\z^{-1}]$$
がわかる。

判別式

$$D_\k=\l(\prod^{p-1}_{k=1}2\sin\frac{\pi k}{p}\r)^{m-1}\prod^m_{j=1}\frac1{2\cos\frac{\pi j}p}$$

 いま$\zcos$の共役元は($\Q(\z)$の共役写像から)$\z^{k}+\z^{-k}\;(k=1,2,\ldots,m)$であるので
$$D_\k=\det((\z^j+\z^{-j})^{i-1})^2$$
と表せれることに注意する。
 以下簡単のため$\theta=\frac{\pi}{p}$とおく。このとき$\zcos=2\cos(2\t)$に注意するとヴァンデルモンドの行列式から
\begin{align} \det((\z^j+\z^{-j})^{i-1})^2 &=\prod_{1\leq i< j\leq m}(2(\cos(2i\t)-\cos(2j\t)))^2\\ &=(-1)^{\frac{m(m-1)}2}\prod_{i\neq j}2(\cos(2i\t)-\cos(2j\t))\\ &=(-1)^{\frac{m(m-1)}2}\prod_{i\neq j}4\sin((j-i)\t)\sin((j+i)\t)\\ &=(-1)^{\frac{m(m-1)}2}\prod^m_{j=1}\frac1{4\sin(j\t)\sin(2j\t)}\prod^{m+j}_{\substack{k=j-m\\k\neq0}}2\sin k\t\\ &=(-1)^{\frac{m(m-1)}2}\prod^m_{j=1}\frac{(-1)^{m-j}}{4\sin^2(j\t)\cdot2\cos(j\t)}\prod^{p-1}_{k=1}2\sin k\t\\ &=\l(\prod^{p-1}_{k=1}2\sin\frac{\pi k}{p}\r)^{m-1}\prod^m_{j=1}\frac1{2\cos\frac{\pi j}p} \end{align}
を得る。

$$\prod^{n-1}_{k=1}\sin\frac{\pi k}n=\frac n{2^{n-1}}$$

 左辺の各項は正であることに注意すると
\begin{align} \prod^{n-1}_{k=1}\sin\frac{\pi k}{n} &=\prod^{n-1}_{k=1}\l|\frac{e^{\farc{i\pi k}{n}}-e^{-\farc{i\pi k}{n}}}{2i}\r| =\frac1{2^{n-1}}\l|\prod^{n-1}_{k=1}(1-\z_n^k)\r|\\ &=\frac1{2^{n-1}}(x^n-1)'|_{x=1}=\frac{n}{2^{n-1}} \end{align}
とわかる。

$D_\k=p^{\frac{p-3}{2}}$

 奇数$n$に対して$l=(n-1)/2$とおくと
\begin{align} \prod^{n-1}_{k=1}2\sin\frac{\pi k}n\cdot2\cos\frac{\pi k}n &=\prod^{n-1}_{k=1}2\sin\frac{2\pi k}n\\ &=\prod^l_{k=1}2\sin\frac{2\pi k}n\prod^l_{k=1}-2\sin\l(\pi-\frac{2k\pi}n\r)\\ &=(-1)^l\prod^l_{k=1}2\sin\frac{2\pi k}n\prod^l_{k=1}2\sin\frac{(2k-1)\pi}n\\ &=(-1)^l\prod^{n-1}_{k=1}2\sin\frac{\pi k}n \end{align}
より
$$(-1)^l\prod^{n-1}_{k=1}2\cos\frac{\pi k}n=1=\prod^l_{k=1}2\cos\frac{\pi k}n$$
が成り立つことに注意するとわかる。

余談

 ちなみに一般の自然数$n$についての実円分体の判別式は次のようになるらしい。

$D_\k=\left\{ \begin{array}{ll}2^{(m-1)2^{m-2}-1}&(n=2^m\geq8のとき) \\p^{\frac12(mp^m-(m+1)p^{m-1}-1)}&(n=p^m,2p^mのとき) \\\dis\frac{n^{\frac{\varphi(n)}{2}}}{\prod_{p|n}p^{\frac{\varphi(n)}{2(p-1)}}}&(それ以外のとき) \end{array}\right.$

出典: 円分体の最大実部分体の整数環について - 山縣幸司 (命題 12)

投稿日:2020128
更新日:116

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投稿者

子葉
子葉
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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。 私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。 同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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