実円分体の整数環と判別式

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はじめに

　この記事では円分体 $K = Q (ζ)$ の最大実部分体こと実円分体 $K^{+} = K \cap R = Q (ζ + ζ^{- 1})$ の整数環と判別式について解説していきます。
　ここで $ζ$ は $1$ の原始 $n$ 乗根 $ζ_{n}$ としたいところですが、一般の自然数 $n$ については色々と煩雑になるのでこの記事では $n = p$ (奇素数)とします。また簡単のため $m = (p - 1) / 2$ とおきます。
　いま $K^{+}$ の整数環 $O_{K^{+}} = K^{+} \cap \overset{―}{Z}$ およびその判別式 $D_{K^{+}}$ は

実円分体の整数環

$O_{K^{+}} = Z [ζ + ζ^{- 1}]$

実円分体の判別式

$D_{K^{+}} = p^{\frac{p - 3}{2}}$

と求まります。

整数環

　 $ζ^{k} + ζ^{- k} (k = 1, 2, \dots, m)$ は $O_{K^{+}}$ の整数底となる。

　 $α \in Z [ζ]$ に対し
$α = \sum_{k = 1}^{p - 1} a_{k} ζ^{k} (a_{k} \in Z)$
とおくとこれが実数であるためには $α = \overset{―}{α}$ 、つまり $a_{k} = a_{p - k}$ となることが必要十分であり、そのとき
$α = \sum_{k = 1}^{m} a_{k} (ζ^{k} + ζ^{- k})$
と表せるので主張を得る。

　 $ζ^{k} + ζ^{- k}$ は $(ζ + ζ^{- 1})$ の $k$ 次整数係数多項式として表せ、特に $(ζ + ζ^{- 1})^{k}$ の係数は $1$ である。

$ζ^{k} + ζ^{- k} = (ζ + ζ^{- 1}) (ζ^{k - 1} + ζ^{- (k - 1)}) - (ζ^{k - 2} + ζ^{- (k - 2)})$
に注意すると数学的帰納法から示せる。

　いま補題3から $ζ^{k} + ζ^{- k}$ と $(ζ + ζ^{- 1})^{k}$ は
$(\begin{matrix} ζ + ζ^{- 1} \\ ζ^{2} + ζ^{- 2} \\ ⋮ \\ ζ^{m} + ζ^{- m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & * \\ 1 \\ ⋱ \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} ζ + ζ^{- 1} \\ (ζ + ζ^{- 1})^{2} \\ ⋮ \\ (ζ + ζ^{- 1})^{m} \end{matrix})$
と行列式 $1$ の整数行列によって写り合うので $(ζ + ζ^{- 1})^{k}$ も $O_{K^{+}}$ の整数底となる、つまり
$O_{K^{+}} = Z [ζ + ζ^{- 1}]$
がわかる。

判別式

$D_{K^{+}} = {(\prod_{k = 1}^{p - 1} 2 \sin \frac{π k}{p})}^{m - 1} \prod_{j = 1}^{m} \frac{1}{2 \cos \frac{π j}{p}}$

　いま $ζ + ζ^{- 1}$ の共役元は( $Q (ζ)$ の共役写像から) $ζ^{k} + ζ^{- k} (k = 1, 2, \dots, m)$ であるので
$D_{K^{+}} = \det {((ζ^{j} + ζ^{- j})}^{i - 1})^{2}$
と表せれることに注意する。
　以下簡単のため $θ = \frac{π}{p}$ とおく。このとき $ζ + ζ^{- 1} = 2 \cos (2 θ)$ に注意するとヴァンデルモンドの行列式から
$\begin{aligned} \det {((ζ^{j} + ζ^{- j})}^{i - 1})^{2} & = \prod_{1 \leq i < j \leq m} (2 (\cos (2 i θ) - \cos (2 j θ)))^{2} \\ = (- 1)^{\frac{m (m - 1)}{2}} \prod_{i \neq j} 2 (\cos (2 i θ) - \cos (2 j θ)) \\ = (- 1)^{\frac{m (m - 1)}{2}} \prod_{i \neq j} 4 \sin ((j - i) θ) \sin ((j + i) θ) \\ = (- 1)^{\frac{m (m - 1)}{2}} \prod_{j = 1}^{m} \frac{1}{4 \sin (j θ) \sin (2 j θ)} \prod_{\begin{array}{c} k = j - m \\ k \neq 0 \end{array}}^{m + j} 2 \sin k θ \\ = (- 1)^{\frac{m (m - 1)}{2}} \prod_{j = 1}^{m} \frac{(- 1)^{m - j}}{4 \sin^{2} (j θ) \cdot 2 \cos (j θ)} \prod_{k = 1}^{p - 1} 2 \sin k θ \\ = {(\prod_{k = 1}^{p - 1} 2 \sin \frac{π k}{p})}^{m - 1} \prod_{j = 1}^{m} \frac{1}{2 \cos \frac{π j}{p}} \end{aligned}$
を得る。

$\prod_{k = 1}^{n - 1} \sin \frac{π k}{n} = \frac{n}{2^{n - 1}}$

　左辺の各項は正であることに注意すると
$\begin{aligned} \prod_{k = 1}^{n - 1} \sin \frac{π k}{n} & = \prod_{k = 1}^{n - 1} | \frac{e^{\frac{i π k}{n}} - e^{- \frac{i π k}{n}}}{2 i} | = \frac{1}{2^{n - 1}} | \prod_{k = 1}^{n - 1} (1 - ζ_{n}^{k}) | \\ = \frac{1}{2^{n - 1}} (x^{n} - 1)^{'} |_{x = 1} = \frac{n}{2^{n - 1}} \end{aligned}$
とわかる。

$D_{K^{+}} = p^{\frac{p - 3}{2}}$

　奇数 $n$ に対して $l = (n - 1) / 2$ とおくと
$\begin{aligned} \prod_{k = 1}^{n - 1} 2 \sin \frac{π k}{n} \cdot 2 \cos \frac{π k}{n} & = \prod_{k = 1}^{n - 1} 2 \sin \frac{2 π k}{n} \\ = \prod_{k = 1}^{l} 2 \sin \frac{2 π k}{n} \prod_{k = 1}^{l} - 2 \sin (π - \frac{2 k π}{n}) \\ = (- 1)^{l} \prod_{k = 1}^{l} 2 \sin \frac{2 π k}{n} \prod_{k = 1}^{l} 2 \sin \frac{(2 k - 1) π}{n} \\ = (- 1)^{l} \prod_{k = 1}^{n - 1} 2 \sin \frac{π k}{n} \end{aligned}$
より
$(- 1)^{l} \prod_{k = 1}^{n - 1} 2 \cos \frac{π k}{n} = 1 = \prod_{k = 1}^{l} 2 \cos \frac{π k}{n}$
が成り立つことに注意するとわかる。

余談

　ちなみに一般の自然数 $n$ についての実円分体の判別式は次のようになるらしい。

$D_{K^{+}} = {\begin{cases} 2^{(m - 1) 2^{m - 2} - 1} & (n = 2^{m} \geq 8 のとき) \\ p^{\frac{1}{2} (m p^{m} - (m + 1) p^{m - 1} - 1)} & (n = p^{m}, 2 p^{m} のとき) \\ \frac{n^{\frac{φ (n)}{2}}}{\prod_{p | n} p^{\frac{φ (n)}{2 (p - 1)}}} & (それ以外のとき) \end{cases}$