カタラン予想（ミハイレスクの定理）の特別な場合の証明

まず、 $m \geq n$ の場合を検討する。
この時、
$$1 = 3^{m} - 2^{n} \geq 3^{n} - 2^{n} \geq 1$$ なので, $3^{n} = 2^{n} + 1$ である。もし $n \geq 2$ であれば、$\combination{n}{i} := \frac{n!}{(n-i)! \ i!}$ を二項係数として、
$$3^{n} = (2 + 1)^{n} = \sum_{i = 0}^{n} \combination{n}{i} 2^{i} > 2^{n} + 1$$ なので、この場合ではありえない。
一方、 $n = 1$ であれば、この時 $3^{m} - 2^{n} = 1$ から $m = 1$ であり、実際 $3^{1} - 2^{1} = 1$ なので、これは解である。
よって、この場合は解 $(m, n) = (1, 1)$ が得られる。

次に、$m < n$ の場合を検討する。$(m, n) = (2, 3)$ は $3^{2} - 2^{3} = 1$ なので求める解である。これ以外の解が存在しないことを背理法を用いて示す。以降、$(m, n)$ を $(2, 3)$ でない解とする。$m = 1, 2$ ではありえないので, $m > 2$ 、よって $n > 3$ である。

さて、 $3^{m} - 2^{n} = 3^{2} - 2^{3}$ から、 $3^{2}(3^{m-2} - 1) = 2^{3}(2^{n-3} - 1)$ である。よってある有理数 $k$ を用いて、以下のように書ける。

1. $3^{m - 2} = 8k + 1$
2. $2^{n - 3} = 9k + 1$

式 2. から式 1. を引いて $k = 2^{n-3} - 3^{m-2}$ である。$m > 2, n > 3$ なので、これより $k$ は整数である。もし $k = 0$ であれば式 1. より、$m = 2$ となり不合理である。$k < 0$ であれば、同じく 式 1. より $3^{m-2} < 0$ となり不合理である。よって $k$ は自然数である。

今、式 1. から、$m$ が偶数であることがわかる。
実際、この式の両辺の $4$ での剰余を見ると、右辺は常に $1$ である。一方、左辺は $(-1)^{m - 2} = (-1)^{m}$ に合同である。よって $m$ は偶数である。

また、式 2. から $n$ が $3$ の倍数であることもわかる。
まず、両辺の $3$ での剰余を見ると、先ほどと同様に、右辺は常に $1$ であるが、左辺は $(-1)^{n-3} = (-1)^{n + 1}$ に合同であるから、$n$ は奇数である。$n > 3$ と合わせて、$n - 3 \geq 2$ が従う。
次に、両辺の $9$ での剰余を見る。すると、右辺は常に $1$ である。一方左辺は $n$ が奇数であることと、（$n - 3 \geq 2$ だから）展開項が $3$ つ以上現れることを心にとめると
$$2^{n-3} = (3 + (-1))^{n-3} = \sum_{i = 0}^{n - 3}\combination{n-3}{i}3^{i}(-1)^{(n-3) - i} \equiv \sum_{i = 0}^{1}\combination{n-3}{i}(-3)^{i}$$ に合同である。最後の展開項は、計算すると、$(-3)(n-3) + 1$ であり、これが $1$ に合同であるのは $n$ が $3$ の倍数であるときそのときに限る。

さて、よってこれから、 $m, n$ は適当な自然数 $\mu, \nu$ を用いて $m = 2\mu, n = 3\nu$ とそれぞれかける。これを始めの式に当てはめると、
$$3^{m} - 2^{n} = 9^{\mu} - 8^{\nu} = 1$$ という表示が得られる。この最後の等号から、$\mu$ が奇数であることがわかる。実際、$\mu$ が偶数だったとして、 等式 $9^{\mu} = 8^{\nu} + 1$ において、$10$ での剰余を考える。すると、左辺は常に $1$ になるが、右辺がこの値に合同になることはない（$8$ のべきの $10$ による剰余は $0$ にならない）。よって $\mu$ は奇数である。

ここで、再度式 $3^{m} - 2^{n} = 1$ に返る。$m = 3$ は解になりえないので、$m > 3$ としてよい。
$3^{m}$ を以下のように変形する。$m > 3$ なので展開項は少なくとも $5$ つ現れる。
\begin{eqnarray} 3^{m} &=& (2 + 1)^{m} \\ &=& \sum_{i = 0}^{m}\combination{m}{i}2^{i} \\ &=& 1 + m \cdot 2 + \frac{m(m -1)}{2} \cdot 2^{2} + \combination{m}{3}2^{3} + 16K \\ &=& 1 + 2m^{2} + 8 \cdot \combination{m}{3} + 16K \end{eqnarray}

変形の最後に現れた $K$ は $\sum_{i = 4}^{m} \combination{m}{i}2^{i}$ を $2^{4} = 16$ で割ったものである。
今、$3^{m} = 2^{n} + 1$ なので、
$$2^{n} = 2m^{2} + 8 \cdot \combination{m}{3} + 16K$$ つまり
$$2^{n-3} = \mu^{2} + \combination{m}{3} + 2K$$ となる。$\combination{m}{3}$ が偶数であることに注意せよ。実際、
$$\combination{m}{3} = \frac{m(m-1)(m -2)}{6}$$ であり、$m$ は偶数なので分子は少なくとも $2$ つ素因数 $2$ を持つが、分母は $1$ つしか素因数 $2$ を持っていない。
今、等式 $2^{n-3} = \mu^{2} + \combination{m}{3} + 2K$ をみると、左辺は $n > 3$ より偶数である。一方右辺は上記の $\combination{m}{3}$ に関する注意と $\mu$ が奇数であることから奇数である。これは不合理であり、それゆえこの場合については $(m, n) = (2, 3)$ が唯一の解である。

以上によってこの方程式の解は $(m, n) = (1, 1), (2, 3)$ のみであることが示された。