カタラン予想（ミハイレスクの定理）の特別な場合の証明

まず、 $m\ge n$ の場合を検討する。
この時、
$$1=3^m-2^n\ge 3^n-2^n\ge 1$$ なので, $3^n=2^n+1$ である。もし $n\ge 2$ であれば、$\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right):=\frac{n!}{(n-i)!i!}$ を二項係数として、
$$3^n=(2+1{)}^n=\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)2^i>2^n+1$$ なので、この場合ではありえない。
一方、 $n=1$ であれば、この時 $3^m-2^n=1$ から $m=1$ であり、実際 $3^1-2^1=1$ なので、これは解である。
よって、この場合は解 $(m,n)=(1,1)$ が得られる。

次に、$m<n$ の場合を検討する。$(m,n)=(2,3)$ は $3^2-2^3=1$ なので求める解である。これ以外の解が存在しないことを背理法を用いて示す。以降、$(m,n)$ を $(2,3)$ でない解とする。$m=1,2$ ではありえないので, $m>2$ 、よって $n>3$ である。

さて、 $3^m-2^n=3^2-2^3$ から、 $3^2(3^{m-2}-1)=2^3(2^{n-3}-1)$ である。よってある有理数 $k$ を用いて、以下のように書ける。

1. $3^{m-2}=8k+1$
2. $2^{n-3}=9k+1$

式 2. から式 1. を引いて $k=2^{n-3}-3^{m-2}$ である。$m>2,n>3$ なので、これより $k$ は整数である。もし $k=0$ であれば式 1. より、$m=2$ となり不合理である。$k<0$ であれば、同じく 式 1. より $3^{m-2}<0$ となり不合理である。よって $k$ は自然数である。

今、式 1. から、$m$ が偶数であることがわかる。
実際、この式の両辺の $4$ での剰余を見ると、右辺は常に $1$ である。一方、左辺は $(-1{)}^{m-2}=(-1{)}^m$ に合同である。よって $m$ は偶数である。

また、式 2. から $n$ が $3$ の倍数であることもわかる。
まず、両辺の $3$ での剰余を見ると、先ほどと同様に、右辺は常に $1$ であるが、左辺は $(-1{)}^{n-3}=(-1{)}^{n+1}$ に合同であるから、$n$ は奇数である。$n>3$ と合わせて、$n-3\ge 2$ が従う。
次に、両辺の $9$ での剰余を見る。すると、右辺は常に $1$ である。一方左辺は $n$ が奇数であることと、（$n-3\ge 2$ だから）展開項が $3$ つ以上現れることを心にとめると
$$2^{n-3}=(3+(-1){)}^{n-3}=\sum _{i=0}^{n-3}\left(\begin{array}{c}n-3\\ i\end{array}\right)3^i(-1{)}^{(n-3)-i}\equiv \sum _{i=0}^1\left(\begin{array}{c}n-3\\ i\end{array}\right)(-3{)}^i$$ に合同である。最後の展開項は、計算すると、$(-3)(n-3)+1$ であり、これが $1$ に合同であるのは $n$ が $3$ の倍数であるときそのときに限る。

さて、よってこれから、 $m,n$ は適当な自然数 $\mu ,\nu$ を用いて $m=2\mu ,n=3\nu$ とそれぞれかける。これを始めの式に当てはめると、
$$3^m-2^n=9^{\mu }-8^{\nu }=1$$ という表示が得られる。この最後の等号から、$\mu$ が奇数であることがわかる。実際、$\mu$ が偶数だったとして、 等式 $9^{\mu }=8^{\nu }+1$ において、$10$ での剰余を考える。すると、左辺は常に $1$ になるが、右辺がこの値に合同になることはない（$8$ のべきの $10$ による剰余は $0$ にならない）。よって $\mu$ は奇数である。

ここで、再度式 $3^m-2^n=1$ に返る。$m=3$ は解になりえないので、$m>3$ としてよい。
$3^m$ を以下のように変形する。$m>3$ なので展開項は少なくとも $5$ つ現れる。
$$\begin{array}{rcl}{3}^m& =& (2+1{)}^m\\ & =& \sum _{i=0}^m\left(\begin{array}{c}m\\ i\end{array}\right)2^i\\ & =& 1+m\cdot 2+\frac{m(m-1)}{2}\cdot 2^2+\left(\begin{array}{c}m\\ 3\end{array}\right)2^3+16K\\ & =& 1+2m^2+8\cdot \left(\begin{array}{c}m\\ 3\end{array}\right)+16K\end{array}$$

変形の最後に現れた $K$ は $\sum _{i=4}^m\left(\begin{array}{c}m\\ i\end{array}\right)2^i$ を $2^4=16$ で割ったものである。
今、$3^m=2^n+1$ なので、
$$2^n=2m^2+8\cdot \left(\begin{array}{c}m\\ 3\end{array}\right)+16K$$ つまり
$$2^{n-3}={\mu }^2+\left(\begin{array}{c}m\\ 3\end{array}\right)+2K$$ となる。$\left(\begin{array}{c}m\\ 3\end{array}\right)$ が偶数であることに注意せよ。実際、
$$\left(\begin{array}{c}m\\ 3\end{array}\right)=\frac{m(m-1)(m-2)}{6}$$ であり、$m$ は偶数なので分子は少なくとも $2$ つ素因数 $2$ を持つが、分母は $1$ つしか素因数 $2$ を持っていない。
今、等式 $2^{n-3}={\mu }^2+\left(\begin{array}{c}m\\ 3\end{array}\right)+2K$ をみると、左辺は $n>3$ より偶数である。一方右辺は上記の $\left(\begin{array}{c}m\\ 3\end{array}\right)$ に関する注意と $\mu$ が奇数であることから奇数である。これは不合理であり、それゆえこの場合については $(m,n)=(2,3)$ が唯一の解である。

以上によってこの方程式の解は $(m,n)=(1,1),(2,3)$ のみであることが示された。