反復Mathias強制により基数hが大きくなること

$V$で議論する。$(s,A)\in \mathbb{M}$とする。$D$が稠密なので$A^{\prime }\in D$があって$A^{\prime }\subseteq A$である。すると
$$(s,A^{\prime }){⊩}_{\mathbb{M}}\dot{g}{\subseteq }^{\ast }{A}^{\prime }.$$
よって
$$(s,A^{\prime }){⊩}_{\mathbb{M}}\mathrm{\exists }x\in D(\dot{g}{\subseteq }^{\ast }x).$$

$V$で議論する。

${⊩}_{{\omega }_2}|\mathbb{R}|={\mathrm{\aleph }}_2$なのでname $\dot{f}$と$q\le p$で$q{⊩}_{{\omega }_2}(\dot{f}:\mathbb{R}\to {\omega }_2\text{全単射})$なものをとる。

$q{⊩}_{{\omega }_2}{\dot{E}}_{\xi }=\dot{f}({\dot{D}}_{\xi })$とする。

あるclub set $C_{\xi }^0$があって$\beta \in C_{\xi }^0$について$q⊩{\dot{E}}_{\xi }\cap \beta \in V_{\beta }$である。

各$\alpha <{\omega }_2$に対し、$\{r\le q:(r⊩\alpha \in {\dot{E}}_{\xi })\vee (r⊩\alpha \notin {\dot{E}}_{\xi })\}$は$q$以下の稠密集合。よってその部分集合で$q$以下の極大反鎖となっている$A_{\xi ,\alpha }$がとれる。${\mathrm{\aleph }}_2$-ccより$|A_{\xi ,\alpha }|\le {\mathrm{\aleph }}_1$である。

台が可算なことと合わせて考えると$h_{\xi }(\alpha )<{\omega }_2$であって
$$\bigcup \{\mathrm{support}(r):r\in A_{\xi ,\alpha }\}\subseteq h_{\xi }(\alpha )$$
なものがとれる。

$C_{\xi }^0=\{\alpha :h_{\xi }‘‘\alpha \subseteq \alpha \}$とおく。

name $\dot{F}$を
$$\dot{F}=\{(\check{\alpha },r):\alpha <\beta \wedge r\in A_{\xi ,\alpha }\wedge r⊩\alpha \in {\dot{E}}_{\xi }\}$$
で定める。

$q⊩\dot{F}={\dot{E}}_{\xi }\cap \beta$を示す。$q⊩\dot{F}\subseteq {\dot{E}}_{\xi }\cap \beta$は明らか。

逆向きの包含について。$(V,{\mathbb{M}}_{{\omega }_2})$ジェネリックフィルター$G$で$q$を持つものをとる。$\alpha \in {\dot{E}}_{\xi }[G]\cap \beta$とする。すると$s\in G$で$s⊩\alpha \in {\dot{E}}_{\xi }$なものがとれる。$s\le q$としてよい。ジェネリック性より$A_{\xi ,\alpha }\cap G$から元$t$をとれる。すると$(\check{\alpha },t)\in \dot{F}$.ゆえに$\alpha \in \dot{F}[G]$である。したがって、$V[G]$で${\dot{E}}_{\xi }[G]\cap \beta \subseteq \dot{F}[G]$なので$V$に戻れば示したい式を得る。

また、$\dot{F}$は$C_{\xi }^0$の定め方より${\mathbb{M}}_{\beta }$-nameである。よって、$q⊩{\dot{E}}_{\xi }\cap \alpha \in V_{\beta }$が分かる。

これで主張Aが示された。

$S=\{\alpha <{\omega }_2:\mathrm{cf}(\alpha )={\omega }_1\}$とおく。

$q⊩(\mathrm{\exists }{C}^1\subseteq {\omega }_2\text{ club set})(C^1\cap S\subseteq \{\alpha <{\omega }_2:\dot{f}‘‘(\mathbb{R}\cap V_{\alpha })=\alpha \})$

$q$を含む$(V,{\mathbb{M}}_{{\omega }_2})$ジェネリックフィルター$G$をとる。$f=\dot{f}[G]$とする。各$\alpha$に対して$|\mathbb{R}\cap V_{\alpha }|\le {\mathrm{\aleph }}_1$なので$f‘‘(\mathbb{R}\cap V_{\alpha })\subseteq g(\alpha )$なる$g(\alpha )<{\omega }_2$がとれる。また各$\alpha <{\omega }_2$に対して$f^{-1}(\alpha )\in V_{h(\alpha )}$となる$h(\alpha )<{\omega }_2$をとる。

$C^1=\{\alpha <{\omega }_2:g‘‘\alpha \subseteq \alpha \}\cap \{\alpha <{\omega }_2:h‘‘\alpha \subseteq \alpha \}$とおく。$C^1\cap S$の元$\alpha$をとる。$x\in \mathbb{R}\cap V_{\alpha }$とする。すると$\mathrm{cf}(\alpha )={\omega }_1$とproper強制の性質よりある$\beta <\alpha$があって$x\in V_{\beta }$.すると$f(x)<g(\beta )<\alpha$.よって$f‘‘(\mathbb{R}\cap V_{\alpha })\subseteq \alpha$.
逆に$\beta <\alpha$とすると、$h(\beta )<\alpha$より$f^{-1}(\beta )\in V_{\alpha }$.したがって、$f^{-1}‘‘\alpha \subseteq \mathbb{R}\cap V_{\alpha }$.

これで主張Bが示された。

$F=f^{-1}$とおくと$F:{\omega }_2\to \mathbb{R}$だが、これを$F:{\omega }_2\times \omega \to 2$と見る。

$q⊩(\mathrm{\exists }{C}^3\subseteq {\omega }_2\text{ club set})(\mathrm{\forall }\alpha \in C^3)(F\upharpoonright (\alpha \times \omega )\in V_{\alpha })$

主張Cの証明は主張Aの証明とほぼ同様のため省略する。

$q⊩(\mathrm{\forall }\xi <{\omega }_1)(\mathrm{\exists }{C}_{\xi }^3\subseteq {\omega }_2\text{ club set})(C_{\xi }^3\cap S\subseteq \{\alpha <{\omega }_2:D_{\xi }\cap V_{\alpha }\in V_{\alpha }\Rightarrow D_{\xi }\cap V_{\alpha }\text{は稠密開集合 in }{V}_{\alpha }\})$

$q$を含む$(V,{\mathbb{M}}_{{\omega }_2})$ジェネリックフィルター$G$をとる。$f=\dot{f}[G]$とする。$\xi <{\omega }_1$とする。$\alpha <{\omega }_2$について$\mathbb{R}\cap V_{\alpha }$の各元$x$について$D_{\xi }$の稠密性より$y_x\in D_{\xi }$であって$y_x\subseteq x$なものを得られる。$y_x\in V_{{\alpha }_x}$なる${\alpha }_x<{\omega }_2$をとる。$k(\alpha )=sup\{{\alpha }_x:x\in V_{\alpha }\cap \mathbb{R}\}$とおき、$C_{\xi }^3=\{\alpha <{\omega }_2:k‘‘\alpha \subseteq \alpha \}$とおく。

$\alpha \in C_{\xi }^3\cap S$としよう。このとき$D_{\xi }\cap V_{\alpha }\in V_{\alpha }$ならば$D_{\xi }\cap V_{\alpha }$は稠密開集合 in $V_{\alpha }$である。実際、まず、$D_{\xi }$は$V_{{\omega }_2}$で開集合なので$D_{\xi }\cap V_{\alpha }$も$V_{\alpha }$で開集合なことがわかる。次に$x\in D_{\xi }\cap V_{\alpha }$とすると$\beta <\alpha$があり$x\in V_{\beta }$であって$y_x\in D_{\xi }$も$V_{\alpha }$に入ることがわかる。よって稠密性もOK。
これで主張Cが示された。

$q$を含む$(V,{\mathbb{M}}_{{\omega }_2})$ジェネリックフィルター$G$をとる。主張Aのclub set $C_{\xi }^0$と主張Bのclub set $C^1$と主張Cのclub set $C_2$とclub set $C_{\xi }^3$をとり固定する。club setの性質より$C=\bigcap _{\xi <{\omega }_1}{C}_{\xi }^0\cap C^1\cap C^2\cap \bigcap _{\xi <{\omega }_1}{C}_{\xi }^2$もclubである。$\alpha ,\beta \in C\cap S$で$\alpha <\beta$なものをとれるのでとる。

すると主張Bより$f(\mathbb{R}\cap V_{\beta })=\beta$.また主張Aより$f(D_{\xi })\cap \beta \in V_{\beta }$である。よって$f(D_{\xi }\cap V_{\beta })\subseteq \beta$かつ$f(D_{\xi }\cap V_{\beta })\in V_{\beta }$.また主張Cより$f^{-1}\upharpoonright \beta \in V_{\beta }$なので$D_{\xi }\cap V_{\beta }=f^{-1}(f(D_{\xi }\cap V_{\beta }))\in V_{\beta }$.
そこで主張Dより$D_{\xi }\cap V_{\beta }$は$V_{\beta }$の中で稠密開集合になる。