目的
フィボナッチ数列の一般項を変換を使って求める。
定義
解法に進む前に準備としていくつか定義を述べる。
変換
以上の整数に対して定義されたについて変換を
と定義する。ただしはを満たす。またこの条件を満たす領域を収束領域と呼ぶ。
この定義から単位階段関数は以下の性質をもつことがわかる。
単位階段関数の定義から
ここでとおいて
ここでをに置き換えて
となり示された。
解法
フィボナッチ数列
n番目のフィボナッチ数をとしたとき漸化式は
で与えられる。ただしは以上の整数
漸化式に初期値を埋め込む
与えられたは離散デルタ関数と単位階段関数を使って
とあらわせる。離散デルタ関数と単位階段関数を使って漸化式に初期値が埋め込まれている。
ここでは単位階段関数の性質から
なので、は
となる。
変換
を変換する。変換の線形性、シフト則、および離散デルタ関数の変換を適用して
を得る。式を整理して
の変換が得られた。
部分分数分解する前に両辺をで割る。
部分分数分解
右辺をヘビサイドの展開定理をもちいて部分分数分解する。分母の多項式の2つの解をとおくと
ただし
両辺にを掛けて整理して
収束領域は。
逆変換
両辺を逆変換する。
ここでを代入して
フィボナッチ数列の一般項が得られた。この公式はビネの公式と呼ばれる。
参考文献