アイゼンシュタインによる平方剰余相互法則の証明について

第2種チェビシェフ多項式$U_{n}(x)$は$n$次の多項式であり、定義より
$$ U_{n}(\cos t)=\frac{\sin (n+1) t}{\sin t} $$
を満たす。また、この表示より、$n=2n'$の時には、$k=1, 2,\cdots, n'$に対して
$$ U_{n} \left(\pm \cos \frac{2k \pi}{n+1} \right)=0 $$
である。また、$U_{n}$の最高次の係数が$4^{n'}$であることも数学的帰納法で確かめられる。従って$U_n(x)$は
$$ U_{n}(x) = 4^{n'}\prod_{k=1}^{n'}\left( x^2- \cos^2 \frac{2k \pi}{n+1} \right) $$
と因数分解できる。この式で$x=\cos t$とすれば
$$ \frac{\sin (n+1) t}{\sin t} = 4^{n'}\prod_{k=1}^{n'}\left(\cos^2 t - \cos^2 \frac{2k \pi}{n+1} \right) $$
となる。

$\mathbb{F}_p^{\times}$において
$a^{\frac{p-1}{2}}\prod_{s \in S}s=\prod_{s \in S}as=\prod_{s \in S}\epsilon_a(s)s_a=\prod_{s \in S}\epsilon_a(s)\prod_{s \in S}s$
より
$$ a^{\frac{p-1}{2}}=\prod_{s \in S}\epsilon_a(s). $$
ここでEulerの基準
$$ \left( \dfrac{a}{p} \right)=a^{\frac{p-1}{2}} $$
より求める等式が導かれた。

$\sin$に関する等式
$$ \sin \frac{2\pi as}{p}=\sin \frac{2\pi \epsilon_a(s)s_a}{p}=\epsilon_a(s)\sin \frac{2\pi s_a}{p} $$
と補題3より、
\begin{eqnarray} \left( \dfrac{l}{p} \right) &=& \prod_{s \in S}\epsilon_l(s) \\ &=& \prod_{s \in S} \dfrac{\sin \frac{2\pi ls}{p}}{\sin \frac{2\pi s_l}{p}}\\ &=&\prod_{s \in S} \dfrac{\sin \frac{2\pi ls}{p}}{\sin \frac{2\pi s}{p}} \end{eqnarray}
となるが、補題2の三角関数についての等式より
\begin{eqnarray} \prod_{s \in S} \dfrac{\sin \frac{2\pi ls}{p}}{\sin \frac{2\pi s}{p}}&=& \prod_{s \in S} \left( 4^{(l-1)/2}\prod_{k=1}^{(l-1)/2}\left( \cos^2 \frac{2\pi k}{p} - \cos^2 \frac{2 \pi s}{l} \right) \right)\\ &=& \prod_{j=1}^{(p-1)/2} \left( 4^{(l-1)/2}\prod_{k=1}^{(l-1)/2}\left( \cos^2 \frac{2\pi k}{p} - \cos^2 \frac{2\pi j}{l} \right) \right)\\ &=& 4^{(p-1)(l-1)/4}\prod_{j=1}^{(p-1)/2}\prod_{k=1}^{(l-1)/2}\left( \cos^2 \frac{2\pi k}{p} - \cos^2 \frac{2\pi j}{l} \right) \end{eqnarray}
であるから、平方剰余に関する目的の式が得られた。したがってこれで平方剰余の相互法則の証明も完了した。