大学数学基礎解説

Fatouの補題と逆Fatouの補題

解析学

1777

概要

本稿では，単調収束定理を認めてFatouの補題と逆Fatouの補題の証明を与える．Fatouの補題とは異なり，逆Fatouの補題では可積分な優関数の存在を仮定しなければならないことに注意が必要である．

以下では測度空間 $(X, M, μ)$ 上で考える．

単調収束定理（monotone convergence theorem）

本稿では単調収束定理（monotone convergence theorem）を証明無しに認める．

単調収束定理

$f$ を非負可測関数， $(f_{n})_{n \geq 1}$ を非負可測関数列であって

任意の $x \in X$ に対して $0 \leq f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq \dots$

任意の $x \in X$ に対して $lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x)$

を満たすものとするとき

lim_{n \to \infty} \int_{X} f_{n} (x) d μ (x) = \int_{X} f (x) d μ (x)

が成り立つ．

Fatouの補題（Fatou's lemma）

Fatouの補題（Fatou's lemma）は単調収束定理を用いて証明することができる．

Fatouの補題

非負可測関数列 $(f_{n})_{n \geq 1}$ に対して
$\int_{X} \underset{n \to \infty}{lim inf} f_{n} (x) d μ (x) \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} \int_{X} f_{n} (x) d μ (x)$
が成り立つ．

$g_{n} = inf_{m \geq n} f_{m}$ とおくと， $(g_{n})_{n \geq 1}$ は

任意の $x \in X$ に対して $0 \leq g_{1} (x) \leq g_{2} (x) \leq \dots$

任意の $x \in X$ に対して $lim_{n \to \infty} g_{n} (x) = \underset{n \to \infty}{lim inf} f_{n} (x)$

を満たす非負可測関数列である．よって，単調収束定理より

lim_{n \to \infty} \int_{X} g_{n} (x) d μ (x) = \int_{X} \underset{n \to \infty}{lim inf} f_{n} (x) d μ (x)

が成り立つ．一方，

(g_{n})_{n \geq 1}

の定義より

lim_{n \to \infty} \int_{X} g_{n} (x) d μ (x) = \underset{n \to \infty}{lim inf} \int_{X} g_{n} (x) d μ (x) \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} \int_{X} f_{n} (x) d μ (x)

である．従って

\int_{X} \underset{n \to \infty}{lim inf} f_{n} (x) d μ (x) \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} \int_{X} f_{n} (x) d μ (x)

を得る．

逆Fatouの補題（reverse Fatou lemma）

逆Fatouの補題（reverse Fatou lemma）はFatouの補題の系として得られる．

逆Fatouの補題

非負可測関数列 $(f_{n})_{n \geq 1}$ に対して，任意の $n \geq 1$ および $x \in X$ に対し $f_{n} (x) \leq g (x)$ を満たすような非負可積分関数 $g$ が存在するとき
$\int_{X} \underset{n \to \infty}{lim sup} f_{n} (x) d μ (x) \geq \underset{n \to \infty}{lim sup} \int_{X} f_{n} (x) d μ (x)$
が成り立つ．

$g_{n} = g - f_{n}$ とおくと，任意の $n \geq 1$ および $x \in X$ に対し $f_{n} (x) \leq g (x)$ であることから， $(g_{n})_{n \geq 1}$ は非負可測関数列である．よって，Fatouの補題より
$\int_{X} \underset{n \to \infty}{lim inf} g_{n} (x) d μ (x) \leq \underset{n \to \infty}{lim inf} \int_{X} g_{n} (x) d μ (x)$
が成り立つ．一方， $g_{n} = g - f_{n}$ より
$\int_{X} \underset{n \to \infty}{lim inf} g_{n} (x) d μ (x) = \int_{X} g (x) d μ (x) - \int_{X} \underset{n \to \infty}{lim sup} f_{n} (x) d μ (x)$
かつ
$\underset{n \to \infty}{lim inf} \int_{X} g_{n} (x) d μ (x) = \int_{X} g (x) d μ (x) - \underset{n \to \infty}{lim sup} \int_{X} f_{n} (x) d μ (x)$
である．従って
$\int_{X} \underset{n \to \infty}{lim sup} f_{n} (x) d μ (x) \geq \underset{n \to \infty}{lim sup} \int_{X} f_{n} (x) d μ (x)$
を得る．

Fatouの補題とは異なり，逆Fatouの補題では可積分な優関数の存在が仮定されている．

投稿日：2020年12月10日

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Fatouの補題と逆Fatouの補題

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単調収束定理（monotone convergence theorem）
Fatouの補題（Fatou's lemma）
逆Fatouの補題（reverse Fatou lemma）