本日の積分(2020年11月7日)

私が大学2年生だった時の微分積分学の講義で出会った積分の問題です。
(1996年横浜市立大学数理科学科微分積分学IIbの演習問題)

$A$を$n$次正値実対称行列とするとき

${\displaystyle {\int }_{{\mathbf{R}}^n}\exp (-(x,Ax))dx}$

を求めよ。ただし(・,・)は${\mathbf{R}}^n$の標準内積である。

講義で扱ったのは$n=2$の場合で$n=3$の場合がレポートでしたが一般の場合も出来ます。

(ヒントは行列の対角化と重積分の変数変換)