群論1

&&&def 群
集合$G$($ \neq \varnothing $)に対して2項演算"$\circ$"
$G$$
\times
$$ G$ $ \longrightarrow $$G$ $ (a\circ b) $$ \longmapsto $$
a\circ b$ が与えられていて、次の条件を満たすとき、$G$を**群**という。 1. 結合法則 任意の$a,b,c$$ \in $$G$に対して、 $(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)$ が成り立つ。 2.単位元の存在 　　ある$e$$ \in $が存在して、任意の$a$$ \in $$G$に対して 　　 $a\circ e = e\circ a = a$ 　　を満たす。 3.逆元の存在 　　任意のa$ \in $$G$に対して 　　$a\circ b = b\circ a = e$ 　　を満たす$b$$ \in $$G$が存在する。 &&& &&&ex 群の例 1. ($ \mathbb{R} $,+)　実数全体の集合、加法 2. ($ \mathbb{Z} $,+)　整数全体の集合、加法 3. ($ \mathbb{R} \ast $,$ \cdot $)　0を除く実数全体の集合、乗法 4. $ \mathbb{T} $=$ \lbrace z\in \mathbb{C} \mid \vert z \vert = 1
\rbrace $ ($\mathbb{T} $, $ \cdot $)　絶対値が1となる複素数の集合、乗法 5. $G$ = $ \lbrace 1 \rbrace $ ($G$,$ \cdot $) 自明群 6. $G$ = $ \lbrace i,-1,-i,1 \rbrace $ ($G$,$ \cdot $) 7. $ \mathbb{R} $上の$n$次正則行列全体は行列の積に関して群になる。 →$GLn$($ \mathbb{R} $)と表す:一般線形群(general linear group) &&& &&&rem 1. 任意の$a,b$$ \in $$G$に対して、$a◦b = b◦a$を満たすとき、$G$を**可換群(アーベル群)**という。 2. 群$G$の元の個数を**位数**といい、$ \vert G\vert $で表す。 3. 以降、$a\circ bをab$と省略する。 &&& &&&thm (i)群$G$に対し、単位元はただ1つ存在する。 　(ii)任意の$a\in G$に対し、逆元はただ1つ存在する。 &&& &&&prf (i)単位元を$e,e'$とおく。 $$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} ee'=e'(eは単位元)\\ ee'=e (e'は単位元) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ $$ \therefore e=e' $$ (ii)$aの逆元をb,b'とおく。$ 　$b=(b'a)b=b'(ab)=b'$ &&& 注1. $(a^{-1})^{-1}=a$ $\because aa^{-1}=a^{-1}a=eより、$ $(a^{-1})^{-1}=a$ 注2. $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ $\because (b^{-1}a^{-1})ab=b^{-1}(a^{-1}a)b$ $=b^{-1}b$ $=e$ $ab(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}$ $=aa^{-1}$ $=e$ よって、$b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}$ &&&rem 順序対:2つの要素を順番を考慮して並べたもの 直積集合:すべての順序対からなる集合($A\times Bであれば、集合Aの要素aと集合Bの要素bの順序対(a,b)の全体の集合
$) &&&