群論1

&&&def 群
集合$G$($\ne \varnothing$)に対して2項演算"$\circ$"
$G$$
\times
$$G\$\$⟶$$G$$ (a\circ b) $$⟼$$
a\circ b$が与えられていて、次の条件を満たすとき、$G$を\ast \ast 群\ast \ast という。1.結合法則任意の$a,b,c$$\in$$G$に対して、$(a\circ b)\circ c = a\circ (b\circ c)$が成り立つ。2.単位元の存在 ある$e$$\in \$が存在して、任意の\$a$$ \in $$G\$に対して \$a\circ e=e\circ a=a\$ を満たす。3.逆元の存在 任意のa\$\in$$G$に対して$a\circ b = b\circ a = e$を満たす$b$$\in$$G \mathbb{R} $,+) 実数全体の集合、加法2.($ \mathbb{Z} $,+) 整数全体の集合、加法3.($ \mathbb{R} \ast $,$ \cdot $) 0を除く実数全体の集合、乗法4.$ \mathbb{T} $=$ \lbrace z\in \mathbb{C} \mid \vert z \vert = 1
\rbrace $($\mathbb{T} $,$ \cdot $) 絶対値が1となる複素数の集合、乗法5.$G$=$ \lbrace 1 \rbrace $($G$,$ \cdot $)自明群6.$G$=$ \lbrace i,-1,-i,1 \rbrace $($G$,$ \cdot $)7.$ \mathbb{R} $上の$n$次正則行列全体は行列の積に関して群になる。\to$GLn$($ \mathbb{R} a,b$$\in$$G$に対して、$a◦b = b◦a$を満たすとき、$G$を\ast \ast 可換群(アーベル群)\ast \ast という。2.群$G$の元の個数を\ast \ast 位数\ast \ast といい、$ \vert G\vert $で表す。3.以降、$a\circ bをabG$に対し、単位元はただ1つ存在する。 (ii)任意の$a\in Ge,e'$とおく。$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}e{e}^{\prime }=e^{\prime }(eは単位元)\\ e{e}^{\prime }=e(e^{\prime }は単位元)\end{array}\end{array}$$$$\therefore e=e^{\prime }$$(ii)$aの逆元をb,b'とおく。$$b=(b'a)b=b'(ab)=b'(a^{-1})^{-1}=a$$\because aa^{-1}=a^{-1}a=eより、$$(a^{-1})^{-1}=a$注2.$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$$\because (b^{-1}a^{-1})ab=b^{-1}(a^{-1}a)b$$=b^{-1}b$$=e$$ab(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}$$=aa^{-1}$$=e$よって、$b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}A\times Bであれば、集合Aの要素aと集合Bの要素bの順序対(a,b)の全体の集合
$) &&&