加法定理の証明

$xy平面上の単位円上の点A(1,0),B( \cos ( \alpha+ \beta),\sin (\alpha+\beta))と,$$点Bからx軸に垂直に下した線とx軸との交点Hで作る \triangle ABHと、同じく$$単位円上の点C(\cos\alpha,-\sin\alpha),D(\cos\beta,\sin\beta)と点K(\cos\alpha,\sin\beta)で作る$$\triangle CDKを考える。$

$\triangle ABHにおいて、これに三平方の定理を適用してAB^{2}を求めると、$
$AB^{2}=HA^{2}+HB^{2}$
$=\lbrace\cos(\alpha+\beta)-1\rbrace +\sin(\alpha+\beta)$
$=\cos^{2}(\alpha+\beta)-2\cos(\alpha+\beta)+1+\sin^{2}(\alpha+\beta)$
$=2-2\cos(\alpha+\beta)$

$\triangle CDKにおいて同様にCD^{2}を求めると、$
$CD^{2}=KD^{2}+CK^{2}$
$=(\cos\beta-\cos\alpha)+\lbrace \sin\beta-(-\sin\alpha)\rbrace^{2}$
$=\cos^{2}\beta-2\cos\beta\cos\alpha+\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+2\sin\alpha\sin\beta+\sin^{2}\alpha$
$=2-2(\cos\beta\cos\alpha-\sin\beta\sin\alpha)$

$AB^{2}=CD^{2}$より、
$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
が成り立つ。

$さらに、\cos(\alpha+\beta)=\cos(\theta+$$ \frac{\pi}{2})=\sin\theta、\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\thetaを用いると、$
$\sin(\alpha+\beta)=-\cos(\alpha+\beta+\frac{\pi}{2})$
$=-\cos\lbrace(\alpha+\frac{\pi}{2})+\beta\rbrace$
$=-\lbrace\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})\cos\beta-\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})\sin\beta\rbrace$
$=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
したがって、
$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
が成り立つ。

$また、\betaを-\betaにかえ、\sin(-\theta)=-\sin\theta,　\cos(-\theta)=\cos\thetaを用いれば、$
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\lbrace\alpha+(-\beta)\rbrace$
$=\sin\alpha\cos(-\beta)-\cos\alpha\sin(-\beta)$
$=\cos\alpha\sin\beta-\cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha-\beta)=\cos\lbrace\alpha+(-\beta)\rbrace$
$=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$
$=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$