加法定理の証明

図の入れ方がよくわからんかったので言葉でゴリ押し

加法定理

次が成り立つ。
$\cos (α \pm β) = \cos α \cos β \mp \sin α \sin β$ 　(複合同順)
$\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β$ 　(複合同順)

$x y 平面上の単位円上の点 A (1, 0), B (\cos (α + β), \sin (α + β)) と,$ $点 B から x 軸に垂直に下した線と x 軸との交点 H で作る △ A B H と、同じく$ $単位円上の点 C (\cos α, - \sin α), D (\cos β, \sin β) と点 K (\cos α, \sin β) で作る$ $△ C D K を考える。$

$△ A B H において、これに三平方の定理を適用して A B^{2} を求めると、$
$A B^{2} = H A^{2} + H B^{2}$
$= {\cos (α + β) - 1} + \sin (α + β)$
$= \cos^{2} (α + β) - 2 \cos (α + β) + 1 + \sin^{2} (α + β)$
$= 2 - 2 \cos (α + β)$

$△ C D K において同様に C D^{2} を求めると、$
$C D^{2} = K D^{2} + C K^{2}$
$= (\cos β - \cos α) + {\sin β - (- \sin α)}^{2}$
$= \cos^{2} β - 2 \cos β \cos α + \cos^{2} α + \sin^{2} β + 2 \sin α \sin β + \sin^{2} α$
$= 2 - 2 (\cos β \cos α - \sin β \sin α)$

$A B^{2} = C D^{2}$ より、
$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$
が成り立つ。

$Math input error$ $\frac{π}{2}) = \sin θ 、 \sin (θ + \frac{π}{2}) = \cos θ を用いると、$
$\sin (α + β) = - \cos (α + β + \frac{π}{2})$
$= - \cos {(α + \frac{π}{2}) + β}$
$= - {\cos (α + \frac{π}{2}) \cos β - \sin (α + \frac{π}{2}) \sin β}$
$= \sin α \cos β + \cos α \sin β$
したがって、
$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \cos α \sin β$
が成り立つ。

$また、 β を - β にかえ、 \sin (- θ) = - \sin θ, \cos (- θ) = \cos θ を用いれば、$
$\sin (α - β) = \sin {α + (- β)}$
$= \sin α \cos (- β) - \cos α \sin (- β)$
$= \cos α \sin β - \cos α \sin β$
$\cos (α - β) = \cos {α + (- β)}$
$= \cos α \cos (- β) - \sin α \sin (- β)$
$= \cos α \cos β + \sin α \sin β$

投稿日：2020年12月10日

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