ルービックキューブ系パズルの数学的な考え方

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前提知識 : (特に無し. )
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定義

以下の定義および問題は, $2 \times 2 \times 2$ のルービックキューブから各パーツの向きの要素を除いたものを題材としている.

完全な配置

(右手系の) 直交座標空間において, 六つの平面
$\begin{array}{r} x = 1, x = - 1, y = 1, y = - 1, z = 1, z = - 1 \end{array}$ をそれぞれ $F, B, R, L, U, D$ と名付け, 始めは, これらに囲まれる立方体 $C$ の頂点
$\begin{aligned} (- 1, - 1, - 1), & (- 1, - 1, - 1), \\ (- 1, - 1, - 1), & (- 1, - 1, - 1), \\ (- 1, - 1, - 1), & (- 1, - 1, - 1), \\ (- 1, - 1, - 1), & (- 1, - 1, - 1) \end{aligned}$ のそれぞれの位置に動点
$\begin{array}{r} a, e, b, f, d, h, c, g \end{array}$ を置く. これらの八つの点について, このような配置を「初期配置」と呼ぶ. 初期配置

以下, 八つの点は何れの二つも重ならず, 立方体 $C$ の頂点の何処かに在るが, 必ずしもその配置が初期配置であるとは限らないとする.

回転

八つの動点のある配置に対する置換 $F, B, R, L, U, D$ を次の定義によって定める.

定義 : $F$ は, 立方体 $C$ を $F$ 面の向きから見て $F$ 面に属する四つの動点を時計回りに $90^{\circ}$ ずつ回す置換である. 他の記号についても同様に考える.

加えて, それぞれの置換の逆操作を $F^{'}, B^{'}, R^{'}, L^{'}, U^{'}, D^{'}$ と記号 $^{'}$ (prime) を付して表し, これら十二種の置換を総べて回転と呼ぶ.

可能な配置

八つの動点のある配置が可能であるとは, 幾つかの回転を組みあわせて実行することで, 八つの動点の配置を初期配置に戻すことができることを言う.

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問題

コミュテーター

初期配置から回転
$\begin{array}{r} R, U, R^{'}, U^{'} \end{array}$ をこの順に実行したとき, これによって異なる位置へと移動する動点を全て挙げよ.

コミュテーター

初期配置から回転
$\begin{array}{r} R, U, R^{'}, U^{'}, D, U, R, U^{'}, R^{'}, D^{'} \end{array}$ をこの順に実行したとき, これによって異なる位置へと移動する動点を全て挙げよ.

二点交換

初期配置から二つの動点 $a, b$ のみを交換した配置が可能であること, そして, あらゆる動点の配置が可能であることを証明せよ.

$3 \times 3 \times 3$ のルービックキューブについても, このような考え方を用いることで「可能」であるために必要かつ充分な条件を記述することができ, 実際に任意の「可能」な状態から解くこともできる (興味の有る方は是非挑戦してみてください ! ).
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投稿日：2020年12月13日

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