強いフビニの定理の独立性
Mathematical Logic Advent Calendar 2020 の14日目の記事です．
強いフビニの定理と呼ばれる命題のZFC独立性を示す．
本稿では積分はすべてルベーグ積分である．また本稿はほとんどの内容を参考文献1によっている．ただし，文献1では任意の$n$変数関数を扱っているが，ここでは簡略化して$2$変数関数のみを扱う．
$f: [0, 1]^2 \to [0, 1]$が非負かつ逐次積分$\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) dx dy$と$\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) dy dx$がともに存在するとき，両者の値は一致する．
非負性のもとでの主張なので強い「トネリの定理」と言った方が正確かもしれない．通常のトネリの定理との違いは$f: [0, 1]^2 \to [0, 1]$の可測性を仮定していない点だ．
ただし逐次積分の存在から，次は暗に仮定されている:
- ほとんどすべての$y$について$x \mapsto f(x, y)$は可測
- ほとんどすべての$x$について$y \mapsto f(x, y)$は可測
- $x \mapsto \int_0^1 f(x, y) dy$は可測
- $y \mapsto \int_0^1 f(x, y) dx$は可測
また強いフビニの定理の主張の定義域の$[0, 1]^2$と終域の$[0, 1]$はそれぞれ$\R^2$と$\R_{\ge 0}$に変えても同値な主張である．これについては最後の節で触れておく．
強いフビニの定理の否定の無矛盾性
連続体仮説を仮定する．このとき，強いフビニの定理は成り立たない．
$\triangleleft$を$[0, 1]$の整列順序で順序型$\omega_1$のものとする．
$$
f(x, y) = \begin{cases}
1 & (x \triangleleft y) \\
0 & (\text{otherwise})
\end{cases}
$$
とおく．
このときどの$y$についても，$f(x, y) > 0$となる$x$は可算個しかないことから，
$$
\int_0^1 f(x, y) dx = 0
$$
なので
$$
\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) dx dy = 0
$$
である．
一方で，どの$x$についても，$f(x, y) \ne 1$となる$y$は可算個しかないことから，
$$
\int_0^1 f(x, y) dy = 1
$$
なので
$$
\int_0^1 \int_0^1 f(x, y) dy dx = 1
$$
となる．
強いフビニの定理の無矛盾性
$f: [0, 1]^2 \to [0, 1]$について
$$
\iint f(x_1, x_2) dx_1 dx_2, \hspace{0.5cm}\iint f(x_1, x_2) dx_2 dx_1
$$
がともに存在し，等しくないとする．
すると，$D \subseteq \R^2$が存在して，
$\widetilde{\forall} x_1 \widetilde{\forall} x_2 ((x_1, x_2) \in D)$,
$\widetilde{\forall} x_2 \widetilde{\forall} x_1 ((x_1, x_2) \not \in D)$
となる．
ここに$\widetilde{\forall} x$は「ほとんど至るところすべての$x \in \R$について」の意味．
必要なら変数を交換することで，ある$\gamma$が存在して
$$
\int_0^1 \int_0^1 f dx_1 dx_2 < \gamma < \int_0^1 \int_0^1 f dx_2 dx_1
$$
となる．
$I = [0, 1]$とおく．$I$の可算個直積$I^\omega$に標準的な確率測度を入れておく．
$$
A = \left\{ (\bar{x}_1, \bar{x}_2) \in (I^\omega)^2 : \exists M \in \omega \ \forall k > M\ \left(\sum_{j=1}^k \frac{f(x_{1,j}, x_{2,j})}{k} \le \gamma \right) \right\}
$$
とおく．
ここで次の事実を使う．
$f_1, f_2, \dots: [0, 1] \to \R$が
- $\forall i\ (\text{$\int_0^1 f_i(t) dt$が存在})$ (平均の存在)
- $\exists M \forall i\ (\int_0^1 (f_i(t) - \int_0^1 f_i(u) du)^2 dt < M)$ (分散の有界性)
をみたすならばほとんどすべての列$\bar{t} = (t_1, t_2, \dots) \in I^\omega$について
$$ \lim_{n \to \infty} \frac1n \left(\sum_{i=1}^n f_i(t_i) - \sum_{i=1}^n \int_0^1 f_i(x) dx\right) = 0. $$
この事実の証明は文献2の364ページ，第4章第3節のTheorem 2を参照せよ．
ほとんどすべての$t \in [0, 1]$で$\int f(t, x_2) dx_2$は存在する．したがって，ほとんどすべての$(t_1, t_2, \dots) \in I^\omega$について
$$\forall i \in \omega\ (\text{$\int f(t_i, x_2) dx_2$は存在する})$$
が言える．
そのような各$(t_1, t_2, \dots)$について大数の法則を$f_i(u) = f(t_i, u)$に適用して次の集合は測度$1$である:
$$
\left\{ \bar{u} \in I^\omega : \lim_{m\to\infty} \frac1m \left(\sum_{i=1}^m f(t_i, u_i) - \sum_{i=1}^m \int f(t_1, x_2) dx_2\right) = 0 \right\}. \tag{1}
$$
大数の法則を$f_i(t) = \int f(t, x_2) dx_2$に適用すると次の集合も測度$1$と分かる:
$$
\left\{ \bar{t} \in I^\omega : \lim_{m\to\infty} \frac1m \left(\sum_{i=1}^m \int f(t_i, x_2) dx_2\right) = \int \int f(x_1, x_2) dx_2 dx_1 \right\}. \tag{2}
$$
(1), (2)を組み合わせると，
$$
\widetilde{\forall} \bar{t} \in I^\omega \widetilde{\forall} \bar{u} \in I^\omega \left(\lim_{m\to\infty} \frac1m \sum_{i=1}^m f(t_i, u_i) = \iint f dx_2 dx_1 > \gamma\right)
$$
である．したがって
$$
\widetilde{\forall} \bar{t} \in I^\omega \widetilde{\forall} \bar{u} \in I^\omega ((\bar{t}, \bar{u}) \not \in A)
$$
である．
同様の議論で，
$$
\widetilde{\forall} \bar{u} \in I^\omega \widetilde{\forall} \bar{t} \in I^\omega ((\bar{t}, \bar{u}) \in A)
$$
も分かる．
したがって，$\Phi: I^\omega \to \R$を測度$0$集合を保つ全単射として，$D = \Phi(A)$とおけば補題の結論を満たす． (補題の証明終了)
- $\mathrm{non}(\mathrm{null}) = \min \{|A| : A \subseteq \R, \text{$A$は測度$0$ではない} \}$
- $\mathrm{cov}(\mathrm{null}) = \min \{|\mathcal{F}| : \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\R), \text{$\mathcal{F}$のメンバーはすべて測度$0$}, \R = \bigcup \mathcal{F} \}$
$\mathrm{non}(\mathrm{null}) < \mathrm{cov}(\mathrm{null})$を仮定する．このとき，強いフビニの定理は成り立つ．
$\mathrm{non}(\mathrm{null}) < \mathrm{cov}(\mathrm{null})$という仮定はZFCから相対的に無矛盾である．実際，ランダム強制法によりこの仮定を強制することができる．このことは次の節で軽く触れる．
また$\non(\nul), \cov(\nul)$はZFCでは大小は決まらない．すなわち，
- $\non(\nul)=\cov(\nul)$
- $\non(\nul)<\cov(\nul)$
- $\non(\nul)>\cov(\nul)$
のどれもZFCから相対的に無矛盾である．
$A$を測度$0$でない集合で$|A| = \non(\nul)$なものとする．
結論を否定すると補題より$D \subseteq \R^2$があり，
- $\widetilde{\forall} x_1 \widetilde{\forall} x_2 ((x_1, x_2) \in D)$,
- $\widetilde{\forall} x_2 \widetilde{\forall} x_1 ((x_1, x_2) \not \in D)$
となる．
さて，$t \in \R$について
$$
B_1 = \{ x \in \R : \neg \widetilde{\forall} x_2 (x, x_2) \in D \} \\
B_2(t) = \begin{cases}
\{x \in \R : (t, x) \not \in D \} & t \not \in B_1 \\
\varnothing & t \in B_1
\end{cases} \\
B_1' = \{ x \in \R : \neg \widetilde{\forall} x_1 (x_1, x) \not \in D \} \\
B_2'(t) = \begin{cases}
\{x \in \R : (x, t) \in D \} & t \not \in B_1' \\
\varnothing & t \in B_1'
\end{cases} \\
$$
と定める．
$D$のとり方よりどんな$t \in \R$についても$B_1, B_2(t), B_1', B_2'(t)$はすべて測度ゼロ集合なことがわかる．
そこで$t \in \R$について$B(t) = B_1 \cup B_2(t) \cup B_1' \cup B_2'(t)$とおくとこれも測度ゼロ集合である．
このとき次の主張を示そう．
主張A: $\forall (z_1, z_2) \in \R^2 \exists i \in \{1, 2\}\ (z_i \in B(z_{3-i}))$
$(z_1, z_2) \in D$ならば$z_1 \in B_2'(z_2)$または$z_2 \in B_1'$なのでOK．
$(z_1, z_2) \not \in D$ならば$z_1 \in B_1$または$z_2 \in B_2(z_1)$なのでやはりOK．これで主張Aが示された．
さて，仮定$\non(\nul) < \cov(\nul)$より
$$
z_2 \in \R \setminus \bigcup_{t \in A_1} B(t)
$$
をとることができる．また$A_1$が測度ゼロでないことから
$$
z_1 \in A_1 \setminus B(z_2)
$$
をとることができる．
構成より$z_i \not \in B(z_{3-i})$になっている．これは主張Aに反している．
ランダム強制法についてさらっと説明
ランダム強制法により$\mathrm{non}(\mathrm{null}) < \mathrm{cov}(\mathrm{null})$とできることをかなりさらっと説明する．詳しくは参考文献の3を参照．
ランダム強制法はランダム実数を追加する強制法である．$V$上のランダム実数とは$V$にある実数によってコードされるボレル集合であって測度ゼロ集合なものをすべて避ける実数である．連続体仮説を仮定し，$\omega_2$個のランダム実数を追加して，ジェネリック拡大$V[G]$を得る．これは$2^{\aleph_0} = \aleph_2$のモデルになっている．
このとき$V[G]$では$\aleph_1$個の測度ゼロ集合では全体をカバーできない．なぜなら，それぞれの測度ゼロ集合はボレル集合と仮定してもよく，それらは$\alpha < \omega_2$個のランダム実数を加えた途中のステージ$V[G_\alpha]$で現れる．よって$V[G_\alpha]$から$V[G_{\alpha+1}]$へ行くときに追加されるランダム実数はそれらを避けている．よって$V[G]$で$\cov(\nul) = \aleph_2$となる．
また，各ステージ$\alpha$で追加されるランダム実数を$r_\alpha$と書くと$X = \{ r_\alpha : \alpha < \omega_2 \}$の非可算部分集合$Y$はどれも外測度正である．実際，それにはどんな測度ゼロのボレル集合$A$についても$Y \not \subseteq A$となることを言えばよいが，$A$のボレルコードは追加したランダム実数のうち可算個にしか依存しない．その可算個に入ってこない$Y$の元は$A$のコードを含む中間のモデル上ランダムである．よって，その元は$A$に入らない．したがって，$\non(\nul) = \aleph_1$が従う．
$[0, 1]$を$\R$に変更しても同値なこと
$f: \R^2 \to \R_{\ge 0}$について
$$
\iint f(x_1, x_2) dx_1 dx_2, \hspace{0.5cm}\iint f(x_1, x_2) dx_2 dx_1
$$
がともに存在し，等しくないとする．
仮定より$x_2$を固定したとき$f(x_1, x_2)$は$x_1$について可測．
そこで単調収束定理より
$$
\int f(x_1, x_2) dx_1 = \lim_{m\to\infty} \int_{-m}^m f(x_1, x_2) dx_1. \tag{1}
$$
また，$\int f(x_1, x_2) dx_1$は$x_2$について可測なので，単調収束定理より
$$
\int \left (\int f(x_1, x_2) dx_1\right) dx_2 = \lim_{m\to\infty} \int_{-m}^m \left( \int f(x_1, x_2) dx_1\right) dx_2.
$$
この右辺に(1)を代入して
$$
\int \left (\int f(x_1, x_2) dx_1\right) dx_2 = \lim_{m\to\infty} \int_{-m}^m \left( \lim_{n\to\infty} \int_{-n}^n f(x_1, x_2) dx_1\right) dx_2.
$$
単調収束定理をこの右辺に適用して
$$
\int \left (\int f(x_1, x_2) dx_1\right) dx_2 = \lim_{m\to\infty} \lim_{n\to\infty} \int_{-m}^m \int_{-n}^n f(x_1, x_2) dx_1 dx_2.
$$
$\lim$の中身は$m$と$n$の両方について単調増大な関数だから，
$$
\int \left (\int f(x_1, x_2) dx_1\right) dx_2 = \lim_{m\to\infty} \int_{-m}^m \int_{-m}^m f(x_1, x_2) dx_1 dx_2.
$$
を得る．
同様に
$$
\int \int f(x_1, x_2) dx_2 dx_1 = \lim_{m\to\infty} \int_{-m}^m \int_{-m}^m f(x_1, x_2) dx_2 dx_1.
$$
したがって，$\iint f dx_1 dx_2$と$\iint f dx_2 dx_1$が異なることから$m$がとれて
$$
\int_{-m}^m \int_{-m}^m f(x_1, x_2) dx_1 dx_2 \ne \int_{-m}^m \int_{-m}^m f(x_1, x_2) dx_2 dx_1
$$
となる．
また，ここで$f_n = \min\{f, n\}$とおくと$f_n \nearrow f (n \to \infty)$.よって再び単調収束定理を使うことで
$$
\lim_{n \to \infty} \int_{-m}^m \int_{-m}^m f_n(x_1, x_2) dx_1 dx_2 \ne \lim_{n \to \infty} \int_{-m}^m \int_{-m}^m f_n(x_1, x_2) dx_2 dx_1
$$
を得るのである$n$があって，
$$
\int_{-m}^m \int_{-m}^m f_n(x_1, x_2) dx_1 dx_2 \ne \int_{-m}^m \int_{-m}^m f_n(x_1, x_2) dx_2 dx_1
$$
となる．
したがって定義域と値域の両方で適当なスカラー倍を施すことにより$f: [0, 1]^2 \to [0, 1]$であって
$$
\iint f(x_1, x_2) dx_1 dx_2, \hspace{0.5cm}\iint f(x_1, x_2) dx_2 dx_1
$$
が一致しないものが存在するとわかる．
参考文献
- Shipman, Joseph. "Cardinal conditions for strong Fubini theorems." Transactions of the American Mathematical Society 321.2 (1990): 465-481.
- Shiryaev, A.N. "Probability" Springer-Verlag New York (1984)
- Kunen, Kenneth. "Random and Cohen reals." Handbook of set-theoretic topology. North-Holland, 1984. 887-911.
