個人的に面白い定理を見つけたので、その供養です。
二つの正の整数$(n,m)$が、$ n\geq m$であるとき、
$$
\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\frac{(n-k)^{m}}{k!(n-k)!}= \begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
1(n=m) \
\\0(n>m)
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
$$
が、成り立つ.
以降は
$$
f(n,m)= \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \frac{(n-k)^m}{k!(n-k)!}
$$
と、して書きます。
$0^0=1$と、定義すると、
$$
f(0,0)=\frac{0^0}{0!0!}=1
$$
$$
\sum_{k=0}^{s}(-1)^k {}_s \mathrm{ C }_k=s!f(s,0)
$$
だから、二項係数の和より、
$$
s!f(s,0)=0
$$
よって、
$$
f(s,0)=0.
$$
$f(s,l)$から$f(s-1,l-1)$を引くことを考えると、
$$ f(s,l)-f(s-1,l-1)\\ =\sum_{k=0}^{s}(-1)^k\frac{(s-k)^l}{k!(s-k)!}-\sum_{k=0}^{s-1}(-1)^{k}\frac{(s-1-k)^{l-1}}{k!(s-1-k)!}\\ =\frac{s^l}{0!s!}+\sum_{k=0}^{s-1}(-1)^{k-1}\frac{(s-1-k)^l}{(k+1)!(s-1-k)!}-\sum_{k=0}^{s-1} (-1)^k\frac{(k+1)(s-1-k)^{l-1}}{(k+1)!(s-1-k)!}\\ =\frac{s^l}{0!s!}-\sum_{k=0}^{s-1}(-1)^{k}\frac{(s-1-k)^{l-1}}{(k+1)!(s-1-k)!}(s-1-k+k+1)\\ =\frac{s^l}{0!s!}-s\sum_{k=0}^{s-1}(-1)^k\frac{(s-k-1)^{l-1}}{(k+1)!(s-k-1)!}\\ =s(\frac{s^{l-1}}{0!s!}-\sum_{k=0}^{s-1}(-1)^k\frac{(s-k-1)^{l-1}}{(k+1)!(s-k-1)!})\\ =s\sum_{k=0}^{s}(-1)^{l-1}\frac{(s-k)^{l-1}}{k!(s-k)!}\\ =sf(s,l-1) $$
だから、$f(s,l-1)=0$と仮定すると、
$$
f(s,l)-f(s-1,l-1)=0\\
f(s-1,l-1)=f(s,l)
$$
よって、
$$
f(s,l-1)=0\Longrightarrow f(s-1,l-1)=f(s,l)
$$
Step1,Step2,Step3から、かつ、正の整数は無限に存在するため、数学的帰納法により命題は成り立つ.
初めまして。ももるドニィ#というものです。いつもは教科書やネットから数式を持ってきたりして遊んでいます。
今回、初めてこのような記事を作成したので、何か不備があるかもしれません。また、私は数学初心者ということもあって、証明の方で何か間違いが存在するかもしれません。その時は私にご指摘いただけると幸いです。そして、この記事を最後まで読んでいただき、ありがとうございました。