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累乗数と階乗の関係について

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この記事を書いた目的

個人的に面白い定理を見つけたので、その供養です。

定理の内容と証明

二つの正の整数$(n,m)$が、$ n\geq m$であるとき、
$$ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\frac{(n-k)^{m}}{k!(n-k)!}= \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 1(n=m) \ \\0(n>m) \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
 が、成り立つ.

以降は
$$ f(n,m)= \sum_{k=0}^{n}(-1)^k \frac{(n-k)^m}{k!(n-k)!} $$
と、して書きます。

Step1. $f(0,0)=1$であることを示す

$0^0=1$と、定義すると、
$$ f(0,0)=\frac{0^0}{0!0!}=1 $$

Step2.$s$が自然数のとき、$f(s,0)=0$であることを示す

$$ \sum_{k=0}^{s}(-1)^k {}_s \mathrm{ C }_k=s!f(s,0) $$
だから、二項係数の和より、
$$ s!f(s,0)=0 $$
よって、
$$ f(s,0)=0. $$

Step3.$s\geq l$であるような自然数$l$を考え、$f(s,l-1) =0\Longrightarrow$$f(s-1,l-1)=f(s,l)$であることを示す.

$f(s,l)$から$f(s-1,l-1)$を引くことを考えると、

$$ f(s,l)-f(s-1,l-1)\\ =\sum_{k=0}^{s}(-1)^k\frac{(s-k)^l}{k!(s-k)!}-\sum_{k=0}^{s-1}(-1)^{k}\frac{(s-1-k)^{l-1}}{k!(s-1-k)!}\\ =\frac{s^l}{0!s!}+\sum_{k=0}^{s-1}(-1)^{k-1}\frac{(s-1-k)^l}{(k+1)!(s-1-k)!}-\sum_{k=0}^{s-1} (-1)^k\frac{(k+1)(s-1-k)^{l-1}}{(k+1)!(s-1-k)!}\\ =\frac{s^l}{0!s!}-\sum_{k=0}^{s-1}(-1)^{k}\frac{(s-1-k)^{l-1}}{(k+1)!(s-1-k)!}(s-1-k+k+1)\\ =\frac{s^l}{0!s!}-s\sum_{k=0}^{s-1}(-1)^k\frac{(s-k-1)^{l-1}}{(k+1)!(s-k-1)!}\\ =s(\frac{s^{l-1}}{0!s!}-\sum_{k=0}^{s-1}(-1)^k\frac{(s-k-1)^{l-1}}{(k+1)!(s-k-1)!})\\ =s\sum_{k=0}^{s}(-1)^{l-1}\frac{(s-k)^{l-1}}{k!(s-k)!}\\ =sf(s,l-1) $$

だから、$f(s,l-1)=0$と仮定すると、
$$ f(s,l)-f(s-1,l-1)=0\\ f(s-1,l-1)=f(s,l) $$
よって、
$$ f(s,l-1)=0\Longrightarrow f(s-1,l-1)=f(s,l) $$

最終Step

Step1,Step2,Step3から、かつ、正の整数は無限に存在するため、数学的帰納法により命題は成り立つ.

最後に

 初めまして。ももるドニィ#というものです。いつもは教科書やネットから数式を持ってきたりして遊んでいます。
 今回、初めてこのような記事を作成したので、何か不備があるかもしれません。また、私は数学初心者ということもあって、証明の方で何か間違いが存在するかもしれません。その時は私にご指摘いただけると幸いです。そして、この記事を最後まで読んでいただき、ありがとうございました。

投稿日:20201213

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