楕円の面積

平面上の楕円の面積を求めます。

楕円の方程式は$a{x}^2+bxy+c{y}^2+dx+ey+f=0$で表されますが、$a{x}^2+2bxy+c{y}^2=1(b^2-ac<0,a>0)$の場合を考えればよいでしょう。

$a{x}^2+2bxy+c{y}^2=1$ を$y$について解くと ${\displaystyle y=\frac{-bx\pm \sqrt{b^2{x}^2-c(a{x}^2-1)}}{c}}$
従って、
${\displaystyle S={\int }_{-\frac{c}{\sqrt{ac-b^2}}}^{\frac{c}{\sqrt{ac-b^2}}}\frac{2\sqrt{c-(ac-b^2)x^2}}{c}=\frac{\pi }{\sqrt{ac-b^2}}}$

これで求まりました、めでたしめでたし。としたいところですが、 積分に頼ってばかりでは成長できません。別の証明を考えてみましょう。

楕円の方程式を二次形式で表してみます。

${\displaystyle a{x}^2+2bxy+c{y}^2=(xy)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)}$

この楕円を角$\theta$回転すると$A{x}^2+B{y}^2=1$という楕円になったとします。
つまり、

$\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$・・・(1)
ということです。

ここで、この楕円は単位円を横に${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{A}}}$倍、縦に${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{B}}}$倍したものなので、面積は${\displaystyle \frac{\pi }{\sqrt{AB}}}$になります。

また、(1)の両辺の行列式を取ると、
$$\begin{gathered} AB=\det \left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right) \\ =\det \left(\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\right) \\ =\det \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\det \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right) \\ =ac-b^2 \end{gathered}$$

従って、${\displaystyle S=\frac{\pi }{\sqrt{AB}}=\frac{\pi }{\sqrt{ac-b^2}}}$となることがわかりました。めでたしめでたし。