楕円の面積

平面上の楕円の面積を求めます。

楕円の方程式は$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$で表されますが、$ax^2+2bxy+cy^2=1\ (b^2-ac<0,a>0)$の場合を考えればよいでしょう。

$ax^2+2bxy+cy^2=1$ を$y$について解くと $\displaystyle y=\frac{-bx\pm\sqrt{b^2x^2-c(ax^2-1)}}{c}$
従って、
$\displaystyle S=\int_{-\frac{c}{\sqrt{ac-b^2}}}^{\frac{c}{\sqrt{ac-b^2}}}\frac{2\sqrt{c-(ac-b^2)x^2}}{c}=\frac{\pi}{\sqrt{ac-b^2}}$

これで求まりました、めでたしめでたし。としたいところですが、 積分に頼ってばかりでは成長できません。別の証明を考えてみましょう。

楕円の方程式を二次形式で表してみます。

$\displaystyle ax^2+2bxy+cy^2=(x\ y)\left(\begin{array}{ccc}a&b\\b&c\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right)$

この楕円を角$\theta$回転すると$Ax^2+By^2=1$という楕円になったとします。
つまり、

$\left(\begin{array}{ccc}A&0\\0&B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}a&b\\b&c\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right) $・・・(1)
ということです。

ここで、この楕円は単位円を横に$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{A}}$倍、縦に$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{B}}$倍したものなので、面積は$\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{AB}}$になります。

また、(1)の両辺の行列式を取ると、
$AB=\det\left(\begin{array}{ccc}A&0\\0&B\end{array}\right) \\=\det\left(\left(\begin{array}{ccc}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}a&b\\b&c\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)\right) \\=\det\left(\begin{array}{ccc}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right) \det\left(\begin{array}{ccc}a&b\\b&c\end{array}\right) \det\left(\begin{array}{ccc}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right) \\=ac-b^2$

従って、$\displaystyle S=\frac{\pi}{\sqrt{AB}}=\frac{\pi}{\sqrt{ac-b^2}}$となることがわかりました。めでたしめでたし。