セグレ埋め込み (Segre Embedding)

$P\in {\mathbb{P}}^m,Q\in {\mathbb{P}}^n$が$\lambda ,\omega \in k$(ただし$\lambda ,\omega \ne 0$)について
$$P=[x_0:\cdots :x_m]\sim [\lambda x_0:\cdots :\lambda x_m]=P^{\prime }$$
$$Q=[y_0:\cdots :y_n]\sim [\omega y_0:\cdots :\omega y_n]=Q^{\prime }$$
と表されているとき，この点$(P^{\prime },Q^{\prime })\in {\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$を$\psi$で送ると，
$$\begin{array}{rl}\psi (P^{\prime },Q^{\prime })& =\psi ([\lambda x_0:\cdots :\lambda x_m]\times [\omega y_0:\cdots :\omega y_n])\\ & =[\lambda x_0\cdot \omega y_0:\cdots :\lambda x_m\cdot \omega y_n]\\ & =[(\lambda \omega )x_0{y}_0:\cdots :(\lambda \omega )x_m{y}_n]\\ & \sim [x_0{y}_0:\cdots :x_m{y}_n](\because \lambda \omega \ne 0)\\ & =\psi ([x_0:\cdots :x_m]\times [y_0:\cdots :y_n])\\ & =\psi (P,Q)\end{array}$$
となり，斉次座標の取り方によらずに一意的に定義されていることが分かる． $◻$

$(P,Q)\in {\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$について，$P\in {\mathbb{P}}^m,Q\in {\mathbb{P}}^n$が
$$\begin{array}{rl}P& =[x_0:\cdots :x_m]\\ Q& =[y_0:\cdots :y_n]\end{array}$$
であるとき，ある$i,j$について$x_i\ne 0,y_j\ne 0$である．そのような$i,j$を$i=j=0$としても一般性を失わない．このとき，
$$\begin{array}{rl}P& =[x_0:x_1:\cdots :x_m]\\ & \sim [1:x_1/x_0:\cdots :x_m/x_0]\\ & =[1:p_1:\cdots :p_m]\\ \\ Q& =[y_0:y_1:\cdots :y_n]\\ & \sim [1:y_1/y_0:\cdots :y_n/y_0]\\ & =[1:q_1:\cdots :q_n]\end{array}$$
と表す．この点$(P,Q)$を$\psi$で送ると，
$$\psi (P,Q)=\begin{array}{rccccl}[& 1:& q_1:& \cdots & q_n:& \\ & p_1:& p_1{q}_1:& \cdots & ⋮& \\ & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ & p_m:& \cdots & & :p_m{q}_n& ]\end{array}$$
となる．ここで，$(P^{\prime },Q^{\prime })\in {\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$について，$P^{\prime }\in {\mathbb{P}}^m,Q^{\prime }\in {\mathbb{P}}^n$が
$$\begin{array}{rl}P& =[x_0^{\prime }:\cdots :x_m^{\prime }]\\ Q& =[y_0^{\prime }:\cdots :y_n^{\prime }]\end{array}$$
であるとする．ここで$x_0^{\prime }=0$とすると$(P,Q)\ne (P^{\prime },Q^{\prime })$となるが，この点を$\psi$で送ると
$$\psi (P^{\prime },Q^{\prime })=\begin{array}{rccccl}[& 0:& 0:& \cdots & 0:& \\ & x_1{y}_0:& x_1{y}_1:& \cdots & ⋮& \\ & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ & x_m{y}_0:& \cdots & & :x_m{y}_n& ]\end{array}$$
となり，$z_{00}$の座標を上式と比較すると明らかに$\psi (P,Q)\ne \psi (P^{\prime },Q^{\prime })$となる．$y_0^{\prime }=0$のときも同様に$\psi (P,Q)\ne \psi (P^{\prime },Q^{\prime })$となる．さらに，$x_0^{\prime }\ne 0$かつ$y_0^{\prime }\ne 0$のとき，
$$\begin{array}{rl}{P}^{\prime }& =[x_0^{\prime }:x_1^{\prime }:\cdots :x_m^{\prime }]\\ & \sim [1:x_1^{\prime }/x_0^{\prime }:\cdots :x_m^{\prime }/x_0^{\prime }]\\ & =[1:p_1^{\prime }:\cdots :p_m^{\prime }]\\ \\ Q^{\prime }& =[y_0^{\prime }:y_1^{\prime }:\cdots :y_n^{\prime }]\\ & \sim [1:y_1^{\prime }/y_0^{\prime }:\cdots :y_n^{\prime }/y_0^{\prime }]\\ & =[1:q_1^{\prime }:\cdots :q_n^{\prime }]\end{array}$$
と表す．点$(P^{\prime },Q^{\prime })$を$\psi$で送ると
$$\psi (P^{\prime },Q^{\prime })=\begin{array}{rccccl}[& 1:& q_1^{\prime }:& \cdots & q_n^{\prime }:& \\ & p_1^{\prime }:& p_1^{\prime }{q}_1^{\prime }:& \cdots & ⋮& \\ & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \\ & p_n^{\prime }:& \cdots & & :p_m^{\prime }{q}_n^{\prime }& ]\end{array}$$
となる．ここで$\psi (P,Q)=\psi (P^{\prime },Q^{\prime })$と仮定すると，上式と比較して$z_{00}$の座標が等しいので任意の$i,j$について$p_i{q}_j=p_i^{\prime }{q}_j^{\prime }$となるが，$i=0$あるいは$j=0$のときに注目すると$p_i=p_i^{\prime }$，$q_j=q_j^{\prime }$となる．従って，$P=P^{\prime }$，$Q=Q^{\prime }$となり$(P,Q)=(P^{\prime },Q^{\prime })$である．よって$\psi$は単射となる． $◻$

$\mathrm{Ker}f\subseteq N_2$を示せば良い.任意の$x\in \mathrm{Ker}f\subset M$についてある$x_1\in N_1,x_2\in N_2$が存在して$x=x_1+x_2$と表される.これを$f$で送ると,
$$f(x)=f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)=0$$
となるが$\mathrm{Ker}f\supseteq N_2$より$f(x_2)=0$であるので$f(x_1)=0$となるが,$f{\mid }_{N_1}$は単射なので$x_1=0$となる.従って$x=x_2\in N_2$となり$\mathrm{Ker}f\subseteq N_2$となる.$◻$

$A=k[Z_{00},\dots ,Z_{mn}]$と表す．まず$V(\mathrm{Ker}\theta )$が射影多様体となることを示す．$\mathrm{Ker}\theta$は$A$の斉次素イデアルである．実際，$\theta$は環準同型なので$\mathrm{Ker}\theta$は素イデアルである．また$f\in \mathrm{Ker}\theta$とすると，$A$は次数付き環より，その$d$次の斉次元全体による集合を$S_d$と表すと，
$$f=s_0+s_1+\cdots +s_l(s_d\in S_d)$$
のように斉次元の和に一意的に分解できる．これを$\theta$で送ると，
$$\theta (f)=\theta (s_0)+\theta (s_1)+\cdots +\theta (s_l)=0$$
となるが，$\mathrm{deg}\theta (s_d)=2d$であるので，それぞれの次数の関係に注意すると$\theta (s_d)=0$となる．よって任意の$d$で$s_d\in \mathrm{Ker}\theta$となるので，$\mathrm{Ker}\theta$は斉次元で生成されており，すなわち斉次イデアルと言える．従って$V(\mathrm{Ker}\theta )\subset {\mathbb{P}}^N$は射影多様体である．
　次に集合としての包含を示すが，$\mathrm{Im}\psi \subseteq V(\mathrm{Ker}\theta )$はほとんど明らかである．なぜならば，任意の$Q\in \mathrm{Im}\psi$についてある$P\in {\mathbb{P}}^m\times {\mathbb{P}}^n$が存在して$\psi (P)=Q$となるので，任意の$f\in \mathrm{Ker}\theta$について
$$f(Q)=f(\psi (P))=\theta (f)(P)=0$$
となり$Q\in V(\mathrm{Ker}\theta )$といえる．次に逆向きの包含$V(\mathrm{Ker}\theta )\subseteq \mathrm{Im}\psi$を示す．任意の$Q\in V(\mathrm{Ker}\theta )$についてその斉次座標を
$$Q=[q_{00}:\cdots :q_{ij}:\cdots :q_{mn}]$$
とすると，$Q\in {\mathbb{P}}^N$であるので，$0$でない座標が少なくとも1つ存在する．これを$q_{ab}$とすると，
$$\begin{array}{rl}Q& =[q_{00}:\cdots :q_{ij}:\cdots :q_{mn}]\\ & \sim [q_{00}{q}_{ab}:\cdots :q_{ij}{q}_{ab}:\cdots :q_{mn}{q}_{ab}]\end{array}$$
となるが，任意の$i,j$について
$$\theta (Z_{ij}{Z}_{ab}-Z_{ib}{Z}_{aj})=X_i{Y}_j{X}_a{Y}_b-X_i{Y}_b{X}_a{Y}_j=0$$
であることから$Z_{ij}{Z}_{ab}-Z_{ib}{Z}_{aj}\in \mathrm{Ker}\theta$となるので，$Q\in V(\mathrm{Ker}\theta )$について，$q_{ij}{q}_{ab}=q_{ib}{q}_{aj}$が成り立つ．従って
$$\begin{array}{rl}Q& =[q_{00}{q}_{ab}:\cdots :q_{ij}{q}_{ab}:\cdots :q_{mn}{q}_{ab}]\\ & =[q_{0b}{q}_{a0}:\cdots :q_{ib}{q}_{aj}:\cdots :q_{mb}{q}_{an}]\\ & =\psi ([q_{0b}:\cdots :q_{mb}]\times [q_{a0}:\cdots :q_{an}])\end{array}$$
となり，$Q\in \mathrm{Im}\psi$が示される． $◻$

$T$も$\mathfrak{a}$も$A$の$k$-部分線型空間であることから$A\supseteq T+\mathfrak{a}$であるので，$A\subseteq T+\mathfrak{a}$を示せば良い．また，多項式環$A$の任意の元が単項式の線形結合で表されることから，$A$の任意の単項式が$T+\mathfrak{a}$に含まれることを示せば良い．
　ここで，$M=\{1,\dots ,m\}$，$N=\{1,\dots ,n\}$とし，$r\ge 1$に対して$(M\times N{)}^r$に辞書式順序を入れる．任意の単項式$\mu \in A$について，ある正の整数$l\ge 1$と$l$個組$((a_1,b_1),\dots ,(a_l,b_l))\in (M\times N{)}^l$が存在して，
$$\mu =t\cdot Z_{a_1{b}_1}{Z}_{a_2{b}_2}\cdots Z_{a_l{b}_l}$$
(ただし$(a_1,b_1)\le \cdots \le (a_l,b_l)$，$t\in k$)と一意的に表せる．ここで，$L_1=\{b_1,\dots ,b_l\}$とし，$b_{\sigma (1)}=min(L_1)$とすると，$Z_{a_1{b}_1}{Z}_{a_{\sigma (1)}{b}_{\sigma (1)}}-Z_{a_1{b}_{\sigma (1)}}{Z}_{a_{\sigma (1)}{b}_1}\in \mathfrak{a}$より
$$\begin{array}{rl}\mu & =t{Z}_{a_1{b}_1}{Z}_{a_2{b}_2}\cdots Z_{a_l{b}_l}\\ & \equiv t{Z}_{a_1{b}_{\sigma (1)}}{Z}_{a_2{b}_2}\cdots Z_{a_{\sigma (1)}{b}_1}\cdots Z_{a_l{b}_l}\mathrm{mod}\mathfrak{a}\end{array}$$
となる．同様に$L_2=\{b_1,\dots ,\widehat{b_{\sigma (1)}},\dots ,b_l\}$として$b_{\sigma (2)}=min(L_2)$とすると，
$$\begin{array}{rl}\mu & \equiv t{Z}_{a_1{b}_{\sigma (1)}}{Z}_{a_2{b}_2}\cdots Z_{a_{\sigma (1)}{b}_1}\cdots Z_{a_l{b}_l}\\ & \equiv t{Z}_{a_1{b}_{\sigma (1)}}{Z}_{a_2{b}_{\sigma (2)}}\cdots Z_{a_{\sigma (1)}{b}_1}\cdots Z_{a_{\sigma (2)}{b}_2}\cdots \cdots Z_{a_l{b}_l}\mathrm{mod}\mathfrak{a}\end{array}$$
となる．以下同様に，$L_i=L_{i-1}-\{b_{\sigma (i-1)}\}$として$b_{\sigma (i)}=min(L_i)$を選べば，
$$\mu \equiv t{Z}_{a_1{b}_{\sigma (1)}}\cdots Z_{a_l{b}_{\sigma (l)}}\mathrm{mod}\mathfrak{a}$$
となるが，$b_{\sigma (1)}\le \cdots \le b_{\sigma (l)}$より$Z_{a_1{b}_{\sigma (1)}}\cdots Z_{a_l{b}_{\sigma (l)}}\in T$となり，$\mu \in T+\mathfrak{a}$を得る．

$\theta$は斉次成分を保つ写像であるので斉次元について単射であることを示せば良い．任意の単項式$\mu \in T$は$t\in k$，$((a_1,b_1),\dots ,(a_l,b_l))\in (M\times N{)}^l$(ただし$a_1\le \cdots \le a_l$，$b_1\le \cdots \le b_l$)を用いて
$$\mu =t{Z}_{a_1{b}_1}\cdots Z_{a_l{b}_l}$$
と一意的に表される．これを$\theta$で送ると，
$$\begin{array}{rl}\theta (\mu )& =\theta (t{Z}_{a_1{b}_1}\cdots Z_{a_l{b}_l})\\ & =t{X}_{a_1}{Y}_{b_1}\cdots X_{a_l}{Y}_{b_l}\\ & =t{X}_{a_1}\cdots X_{a_l}\cdot Y_{b_1}\cdots Y_{b_l}\end{array}$$
となるが，$a_1\le \cdots \le a_l$，$b_1\le \cdots \le b_l$であることに注意すると，添字の付け方は元の単項式$\mu$の添字によって一意的に決まるので，単項式について$\theta {\mid }_T$は単射である．ここで，斉次元$f\in T^h$は$\mu$のような単項式で次数が等しいものによる線形結合で表されているので，$\theta$が環準同型であることから$f$のそれぞれの単項式が相異なる単項式に移る．よって斉次元についても単射である． $◻$

明らかに$\mathrm{Ker}\theta \supseteq \mathfrak{a}$である．実際，$\mathfrak{a}$の任意の生成元は$\theta$で送ると，
$$\theta (Z_{ij}{Z}_{kl}-Z_{il}{Z}_{kj})=X_i{Y}_j{X}_k{Y}_l-X_i{Y}_l{X}_k{Y}_j=0$$
となるので$\mathrm{Ker}\theta$に含まれる．さらに$A=T+\mathfrak{a}$であり$\theta {\mid }_T$は単射であるので$\mathrm{Ker}\theta =\mathfrak{a}$となる． $◻$