双複素関数
双複素解析入門 第7回
今回でようやく，双複素関数が登場します．前回で$\mathbb{BC}$に位相を入れることができたので，これから関数の解析を少しずつしていくことにしましょう．ですが，いきなり複雑な関数を扱うのは大変です．まずは簡単な多項式から考えていくことにします．
不定元$X$に対して，高々$N$次の双複素係数多項式環$\mathbb{BC}[X]_{N}$の元を考えることにしましょう．
$\displaystyle F(X)=\sum_{m=0}^{N}A(m)X^m \hspace{10mm} (A(m) \in \mathbb{BC})$
とします．ここで$A(m)$は双複素数環の元なので，べき等元分解することができます．すなわち，
$$A(m)=\Phi_{e}(A(m))e+\Phi_{e^{\dagger}}(A(m))e^{\dagger}=A(m)_{e}e+A(m)_{e^{\dagger}}e^{\dagger}$$
と表示することができます．$F$に代入すると，
$$F(X)=\left(\sum_{m=0}^{N}A(m)_{e}X^m\right)e+\left(\sum_{m=0}^{N}A(m)_{e^{\dagger}}X^m\right)e^{\dagger}$$
とできます．ここで，べき等元分解表示したあとの$e,e^{\dagger}$の係数$A(m)_{e},A(m)_{e^{\dagger}}$は複素数の元なので，
$$F_{e}(X)=\sum_{m=0}^{N}A(m)_{e}X^m,F_{e^{\dagger}}(X)=\sum_{m=0}^{N}A(m)_{e^{\dagger}}X^m$$
とおくと，$F_{e}(X),F_{e^{\dagger}}(X)$は高々$N$次の複素係数多項式環$\mathbb{C}[X]$の元になります．つまり，この$F_{e}(X),F_{e^{\dagger}}(X)$は複素関数と思うことができそうです．さらに，$\Phi_{e},\Phi_{e^{\dagger}}$は自然に$\mathbb{BC}[X] \rightarrow \mathbb{C}[X]$と拡張することができます．さて，ここで不定元と扱ってきた$X$を双複素数環の元とするとどのようなことが起きるでしょうか．つまり，$X=Z \in \mathbb{BC}$とします．$X=Z$も双複素数環の元となると，これもべき等元分解することができます．つまり，
$$Z=Z_{e}e+Z_{e^{\dagger}}e^{\dagger}$$
とできます．このとき，自然数$m$に対して，
$$Z^m={Z_{e}}^me+{Z_{e^{\dagger}}}^me^{\dagger}$$
なので，
\begin{align*}
Z^me&={Z_{e}}^{m}e,\\
Z^me^{\dagger}&={Z_{e^{\dagger}}}^{m}e^{\dagger}
\end{align*}
となります．再びこれを$F(Z)$に代入すると，
$$F(Z)=\left(\sum_{m=0}^{N}A(m)_{e}{Z_{e}}^m\right)e+\left(\sum_{m=0}^{N}A(m)_{e^{\dagger}}{Z_{e^{\dagger}}}^m\right)e^{\dagger}$$
となります．よって，$F_{e},F_{e^{\dagger}}$は複素関数となります．以上のことから，不定元$X$を双複素数環の元だとしても"意味"があるということになります．さらに，この議論は形式的冪級数環$\mathbb{BC}[[Z]]$で考えれば$N \to \infty$としてもよいことがわかります．
$F(Z) \in \mathbb{BC}[Z]_{N}$とする．このとき，高々$N$次の$ F_{e}(Z),F_{e^{\dagger}}(Z) \in \mathbb{C}[Z]$を用いて，
$$F(Z)=F_{e}(Z)e+F_{e^{\dagger}}(Z)e^{\dagger}$$
と表せる．逆に，高々$N$次の$ F_{e}(Z),F_{e^{\dagger}}(Z) \in \mathbb{C}[Z]$をとれば，双複素関数$F(Z) \in \mathbb{BC}[Z]_{N}$を構成することが可能である．
これは，双複素多項式のべき等元分解だと思えます．いくつか例を見てみましょう．
- $F(Z)=eZ^2+Z$ $\hspace{10mm}$ $G(Z)=Exp(Z)$ $\hspace{5mm}$(指数関数)
\begin{align*} F(Z)&=e(Z_{e}e+Z_{e^{\dagger}}e^{\dagger})^2+(Z_{e}e+Z_{e^{\dagger}}e^{\dagger})\\ &=({Z_{e}}^2+Z_{e})e+(Z_{e^{\dagger}})e^{\dagger}. \end{align*}
\begin{align*} G(Z)&=Exp(Z)\\ &:=\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{Z^m}{m!}\\ &=\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{Z_{e}}{m!}e+\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{Z_{e^{\dagger}}}{m!}e^{\dagger}\\ &=Exp({Z_{e}})e+Exp({Z_{e^{\dagger}}})e^{\dagger}. \end{align*}
このように，双複素多項式を1つもってくることは，独立な複素多項式を同時に2つ扱うことと同値になります．(2)では冪級数ですが，やはり同様に1つの双複素関数から2つの複素関数が得られたことになります．
今回はここまでにしましょう．ありがとうございました．