双複素関数

双複素解析入門　第7回
今回でようやく，双複素関数が登場します．前回で$\mathbb{BC}$に位相を入れることができたので，これから関数の解析を少しずつしていくことにしましょう．ですが，いきなり複雑な関数を扱うのは大変です．まずは簡単な多項式から考えていくことにします．

不定元$X$に対して，高々$N$次の双複素係数多項式環$\mathbb{BC}[X{]}_N$の元を考えることにしましょう．

${\displaystyle F(X)=\sum _{m=0}^{N}A(m)X^m(A(m)\in \mathbb{BC})}$
とします．ここで$A(m)$は双複素数環の元なので，べき等元分解することができます．すなわち，
$$A(m)={\mathrm{\Phi }}_e(A(m))e+{\mathrm{\Phi }}_{e^{†}}(A(m))e^{†}=A(m{)}_{e}e+A(m{)}_{e^{†}}{e}^{†}$$
と表示することができます．$F$に代入すると，
$$F(X)=(\sum _{m=0}^{N}A(m{)}_e{X}^m)e+(\sum _{m=0}^{N}A(m{)}_{e^{†}}{X}^m)e^{†}$$
とできます．ここで，べき等元分解表示したあとの$e,e^{†}$の係数$A(m{)}_e,A(m{)}_{e^{†}}$は複素数の元なので，
$$F_e(X)=\sum _{m=0}^{N}A(m{)}_e{X}^m,F_{e^{†}}(X)=\sum _{m=0}^{N}A(m{)}_{e^{†}}{X}^m$$
とおくと，$F_e(X),F_{e^{†}}(X)$は高々$N$次の複素係数多項式環$\mathbb{C}[X]$の元になります．つまり，この$F_e(X),F_{e^{†}}(X)$は複素関数と思うことができそうです．さらに，${\mathrm{\Phi }}_e,{\mathrm{\Phi }}_{e^{†}}$は自然に$\mathbb{BC}[X]\to \mathbb{C}[X]$と拡張することができます．さて，ここで不定元と扱ってきた$X$を双複素数環の元とするとどのようなことが起きるでしょうか．つまり，$X=Z\in \mathbb{BC}$とします．$X=Z$も双複素数環の元となると，これもべき等元分解することができます．つまり，
$$Z=Z_{e}e+Z_{e^{†}}{e}^{†}$$
とできます．このとき，自然数$m$に対して，
$$Z^m={Z_e}^{m}e+{Z_{e^{†}}}^m{e}^{†}$$
なので，
$$\begin{array}{rl}{Z}^{m}e& ={Z_e}^{m}e,\\ Z^m{e}^{†}& ={Z_{e^{†}}}^m{e}^{†}\end{array}$$
となります．再びこれを$F(Z)$に代入すると，
$$F(Z)=(\sum _{m=0}^{N}A(m{)}_e{Z_e}^m)e+(\sum _{m=0}^{N}A(m{)}_{e^{†}}{Z_{e^{†}}}^m)e^{†}$$
となります．よって，$F_e,F_{e^{†}}$は複素関数となります．以上のことから，不定元$X$を双複素数環の元だとしても"意味"があるということになります．さらに，この議論は形式的冪級数環$\mathbb{BC}[[Z]]$で考えれば$N\to \mathrm{\infty }$としてもよいことがわかります．

これは，双複素多項式のべき等元分解だと思えます．いくつか例を見てみましょう．

1. $$\begin{array}{rl}F(Z)& =e(Z_{e}e+Z_{e^{†}}{e}^{†}{)}^2+(Z_{e}e+Z_{e^{†}}{e}^{†})\\ & =({Z_e}^2+Z_e)e+(Z_{e^{†}})e^{†}.\end{array}$$

2. $$\begin{array}{rl}G(Z)& =Exp(Z)\\ & :=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{Z^m}{m!}}\\ & =\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{Z_e}{m!}}e+\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{Z_{e^{†}}}{m!}}{e}^{†}\\ & =Exp(Z_e)e+Exp(Z_{e^{†}})e^{†}.\end{array}$$

このように，双複素多項式を1つもってくることは，独立な複素多項式を同時に2つ扱うことと同値になります．(2)では冪級数ですが，やはり同様に1つの双複素関数から2つの複素関数が得られたことになります．

今回はここまでにしましょう．ありがとうございました．