ポアソン和公式で遊ぶ

はじめに

ポアソン和公式というものがあります。簡単に説明すると、

${\displaystyle \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(n)}$

が成立する、というものです。ただし、${\displaystyle \hat{f}(n)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)e^{-2\pi inx}dx}$です。

この公式を使って様々な級数を求めてみましょう。

① $f(n)=e^{-|2\pi an|}(a>0)$

まず、$f(n)$をフーリエ変換してみましょう。

$\begin{array}{rcl}& & \hat{f}(n)\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-|2\pi ax|}{e}^{-2\pi inx}dx\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(|2\pi ax|+2\pi inx)}dx\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{e}^{-(2\pi inx-2\pi ax)}dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(2\pi ax+2\pi inx)}dx\\ & =& {[-\frac{1}{2\pi in-2\pi a}{e}^{-(2\pi inx-2\pi ax)}]}_{-\mathrm{\infty }}^0+{[-\frac{1}{2\pi a+2\pi in}{e}^{-(2\pi ax+2\pi inx)}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =& \frac{1}{2\pi a-2\pi in}+\frac{1}{2\pi a+2\pi in}\\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{\pi a+\pi in+\pi a-\pi in}{{\pi }^2{a}^2+{\pi }^2{n}^2}\right)\\ & =& \frac{a}{\pi (a^2+n^2)}\end{array}$

できましたね。これにポアソン和公式を適用してみましょう。

${\displaystyle \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-|2\pi an|}=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{a}{\pi (a^2+n^2)}}$

$\begin{array}{rcl}& & \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{a}{a^2+n^2}\\ & =& \pi \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-|2\pi an|}\\ & =& \pi (2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-2\pi an}-1)\\ & =& \pi (\frac{2}{1-e^{-2\pi a}}-1)\\ & =& \pi \frac{1+e^{-2\pi a}}{1-e^{-2\pi a}}\\ & =& \pi \coth a\pi \end{array}$

よって、

${\displaystyle \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{a}{a^2+n^2}=\pi \coth a\pi }$

がわかりました。これは双曲線函数の部分分数展開になっています。

②$f(n)=\frac{{\sin }^2\frac{\pi n}{2}}{n^2}$

まず、$f(n)$をフーリエ変換しましょう。計算量が多いですが気合でがんばります。

$\begin{array}{rcl}& & \hat{f}(n)\\ & =& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2\frac{\pi x}{2}}{x^2}{e}^{-2\pi inx}dx\\ & =& 2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2\frac{\pi x}{2}\cos 2\pi nx}{x^2}dx\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{2\cos 2n\pi x-\cos (x-2nx)\pi -\cos (x+2nx)\pi }{x^2}dx\\ & =& -\frac{1}{2}{\left[\frac{2\cos 2n\pi x-\cos (1-2n)x\pi -\cos (1+2n)x\pi }{x}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}-\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{4n\pi \sin 2n\pi x-(2n-1)\pi \sin (2n-1)x\pi -(2n+1)\pi \sin (2n+1)x\pi }{x}dx\\ & =& -\frac{\pi }{4}(4n\pi \text{sgn}2n\pi -(2n-1)\pi \text{sgn}(2n-1)\pi -(2n+1)\pi \text{sgn}(2n+1)\pi )\\ & =& -\frac{\pi }{4}(4n\pi \text{sgn}n-(2n-1)\pi \text{sgn}(2n-1)-(2n+1)\pi \text{sgn}(2n+1))\end{array}$

できましたね。$\text{sgn}x$は$x$の符号で、$x>0$なら$\text{sgn}x=1,x<0$なら$\text{sgn}x=-1,x=0$なら$\text{sgn}x=0$です。

これにポアソン和公式を適用してみましょう。

${\displaystyle \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2\frac{\pi n}{2}}{n^2}=-\frac{\pi }{4}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(4n\pi \text{sgn}n-(2n-1)\pi \text{sgn}(2n-1)-(2n+1)\pi \text{sgn}(2n+1))}$

右辺は、

${\displaystyle -\frac{\pi }{4}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(4n\pi \text{sgn}n-(2n-1)\pi \text{sgn}(2n-1)-(2n+1)\pi \text{sgn}(2n+1))=\frac{{\pi }^2}{2}}$

左辺ですが、$n=0$の時に不定形になってしまいます。なので、ここでは$n\to 0$の極限を取り、$n=0$の時は${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}$とします。

左辺を計算すると、

$\begin{array}{rcl}& & \sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2\frac{\pi n}{2}}{n^2}\\ & =& \frac{{\pi }^2}{4}+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sin }^2\frac{\pi n}{2}}{n^2}\\ & =& \frac{{\pi }^2}{4}+2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^2}\\ & =& \frac{{\pi }^2}{4}+2(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}-\frac{1}{4}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2})\\ & =& \frac{{\pi }^2}{4}+\frac{3}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}\end{array}$

より、

${\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2}=\frac{{\pi }^2}{4}+\frac{3}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}}$

${\displaystyle \frac{3}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{4}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}}$

よって、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}}$がわかりました。これはバーゼル問題ですね。バーゼル問題を新しい切り口(既出ですが)で証明することができて良かったです。

おわりに

フーリエ変換の計算は大変ですね。ですがかなり楽しかったです。

皆さんもポアソン和公式を使って是非遊んでみてください。