導入
累乗は乗算を有限回繰り返したものである:
また,乗算も加算を有限回繰り返したものである:
では,同様にして有限回繰り返すことで加算となるような演算(これを準加算という)は定義できるだろうか?
準加算の概念はbutchi氏によって2016年に提唱された.その後様々なアイディアをもとに研究が進められていたが,現在は「整数上(特に自然数上)ではうまく定義できない」という結論に至っている.
本記事では,ある環に対してその加算よりも低レベルな演算をもつ代数構造としてモノイド環を導入し,演算がどのように備わっているかを考察する.
なお,演算は常に二項演算を表すものとする.また,上記のようにある演算が別の演算を繰り返すことによって得られる場合,はの下のレベルの演算であるという.例えば,整数環においてはの下のレベルの演算である.下のレベルであるかどうかについて,結合法則や可換法則などは考えない.
モノイド環
をモノイド,を環とする.このとき,
とする.このをの上のモノイド環という.
モノイド環の元はモノイドの元と環の元の形式的線形和であり,必ずしもなにか意味のある数になるとは限らない.
モノイド環は実際に環になっている:に対して,
と演算が入っているが,がモノイドであることから結合法則が成り立ち,分配法則が成り立つことも分かる(要計算).
モノイド環は半群環として一般化され,実際に半群に対しても同様に定義することができるが,本記事では最終的に構成された環が単位的可換環であるものを主に取り扱うため,ここではモノイド環を使用した.
を自然数全体の集合(ただし),を整数全体の集合とする.このときは通常の積に関してモノイドをなし,整数全体は通常の和と積に関して環となる.ここで
となる.実際にをに対して
(だと考える)と定義すると,これは環準同型である.
Claim: は全単射である:
(単射) に対して
であるとき,すべてのでとなる().したがってとなりつまりは単射となる.
(全射) 任意のに対し,であるならばとなるのでである.またならばであるのでとなり,は全射である.
以上よりによって同型が定まる.
さて,この例は実は加算は乗算の下のレベルの演算であることを表している.
もともとには乗算という単一の演算しか備わっていなかったが,そのモノイド環をあたえることによって加算という下のレベルの演算が新たに備わった.同型であるにおける積はにもともとあった積だと考えることができる.
そこに新しくという演算が加わっており,実際に下のレベルの演算になっている.このようにして,あるモノイドが与えられたときにその上のモノイド環を構成することによって,その下のレベルの演算をもつ代数構造を与えることができる.
() 積の定義より明らか.
() 積を演算とするモノイドとしてより成り立つ.
下段環
ここで,ある単位的可換環について考える.は和に関してアーベル群であり,また可換モノイドであるので,その上のモノイド環を考えることができる.
単位的可換環について
とし,これをの自由下段環という.また,の剰余環をの下段環という.
を加算に関するモノイドと考えた上でについて考える.新たに備わった演算をととする.
ただしの乗算はの加算をに拡張したものである.
これではあまりにも形式的すぎるので,
として下段環について考える.上式におけるはより正確に書くとのことである.これは係数環としてのからを,モノイドとしてのからをそれぞれ取ってきたものの形式和である.はの逆演算であり,はを
より正確には
などの関係式で剰余したものと考えることができる.この場合を計算してみると,
となっている.また,は
より,
となっているとみることができ,もともとあった加算よりも下のレベルの演算が定義されていると考えることができる.
上の例ではにおける線形結合のと,元からに備わっている乗算の記号を濫用した.どれがどのかを正しく理解することは読者への課題とする.
より具体的な例をもう一つ提示する.の下段環を以下のように定める:
の元はとの上の線形結合でかけるはずであるが,実際には元は3つしかない.なぜならば,
となり,の3つだけとなる.
ここで,を
と定めると,これは環の同型写像となり,つまりとなる.このようにしての下段環としてを考えることができるのである.
さて,ここでの演算を見てみる.
このうち乗算の演算表に着目すると,単元群の部分はの加算の演算表と同じになっていることが分かる.
つまり,の乗算をの加算だと思うことができるということである.
これを定式化して構成したものがである.
なお,下段環を構成することにより下のレベルの演算を定義することが出来たが,もとのモノイドの元にその演算を適用するとモノイドからはみ出してしまうことがある.
上記のに関しては
に対応するの元は存在せず,これでの元を1つ表している.また上記のに関してははと,はとそれぞれ対応しているが,に対応するの元は存在しない.
実際に新しく定義した加算をに引き戻して,を計算してみると,
となり,からはみ出してしまう.
つまり,低レベルな演算を定義する際にはある程度集合を拡大する必要がある.これは累乗を行う際に結合法則が成り立たなくなることなどに近い.