双複素多項式の零点の構造　その1

双複素解析入門　第8回

第7回で，双複素多項式が定義できました．多項式は関数の中でも基本的かつ重要なものなので，詳しく分析した方がよさそうです．ここでは，零点について考えてみましょう．

次の双複素多項式の零点について考察せよ．

$Z^{2} - Z$ (2) $Z^{3} - Z$ (3) $Z^{2} - 3 e Z + 2 e$

$\begin{aligned} Z^{2} - Z & = Z (Z - 1) \\ = (Z - e) (Z - e^{†}) \end{aligned}$
より， $Z^{2} - Z$ の零点は $Z = 0, 1, e, e^{†}$ の4個である．

(2) $\begin{aligned} Z^{3} - Z & = Z (Z + 1) (Z - 1) \\ = (Z - e) (Z - e^{†}) (Z + 1) \\ = (Z - 1) (Z + e) (Z + e^{†}) \\ = Z (Z + e - e^{†}) (Z - e + e^{†}) \end{aligned}$
より， $Z^{3} - Z$ の零点は $Z = 0, - 1, 1, e, e^{†}, - e, - e^{†}, e - e^{†}, - e + e^{†}$ の9個である．

(3) $\begin{aligned} Z^{2} - 3 e Z + 2 e & = (Z - 2 e) (Z - e) \end{aligned}$
より， $Z^{2} - 3 e Z + 2 e$ の零点は $Z = e, 2 e$ の2個である

例を見ると，高々 $N$ 次の双複素多項式環 $BC [Z]_{N}$ においては因数分解の一意性が成り立たないことがわかります．さらに，高々 $n$ 次の複素係数多項式環 $C [z]_{n}$ の元のように，多項式の次数が零点の個数に一致するとも限りません．これにより双複素多項式の零点の構造は複素多項式のときより複雑になっています．ですが，例を見る限りでは，次数の2乗個より多くはなさそうです．一般に次の命題が成り立ちます．

$F (Z) \in BC [Z]_{N}$ する．このとき， $F (Z)$ は高々 $N^{2}$ 個の零点をもつ．

任意に $F (Z) \in BC [Z]_{N}$ をとる．このとき， $A (m) \in BC (m = 0, 1, \dots, N)$ を用いて，
$F (Z) = \sum_{m = 0}^{N} A (m) Z^{m}$
とかける．さらに，この多項式をべき等元分解して，
$F (Z) = (\sum_{m = 0}^{N} A (m)_{e} {Z_{e}}^{m}) e + (\sum_{m = 0}^{N} A (m)_{e^{†}} {Z_{e^{†}}}^{m}) e^{†}$
となるので，
$\begin{aligned} F_{e} (Z_{e}) & = \sum_{m = 0}^{N} A (m)_{e} {Z_{e}}^{m}, \\ F_{e^{†}} (Z_{e^{†}}) & = \sum_{m = 0}^{N} A (m)_{e^{†}} {Z_{e^{†}}}^{m} \end{aligned}$
とおけば， $F_{e}, F_{e^{†}}$ は高々 $N$ 次の複素係数多項式になる．代数学の基本定理より，それぞれ高々 $N$ 個の零点を持つので， $F (Z)$ は高々 $N^{2}$ 個の零点をもつことが示される．