双有理不変性とA^1不変性

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$k$ を体とし、 $k$ 上の代数多様体の圏を ${Var}_{k}$ で表します．関手 $F : {Var}_{k}^{op} \to Set$ が双有理不変であるとは、任意の双有理射 $f : X \to Y$ に対して $F (f)$ が全単射であることを指すとします．また関手 $F : {Var}_{k}^{op} \to Set$ が $A^{1}$ 不変であるとは、任意の代数多様体 $X$ に対して標準的な射影 $p : A_{X}^{1} \to X$ が誘導する写像 $F (p)$ が全単射であることを指すとします．ここでは次の定理を示します．

Colliot-Thélène [KS15, Appendix A]

関手 $F : {Var}_{k}^{op} \to Set$ が双有理不変ならば、 $F$ は $A^{1}$ 不変である．

$X$ を代数多様体とし、 $q : P_{X}^{1} \to X$ を自然な射影とする． $F (q)$ が全単射であることを示せばよい．単射性は $q$ がセクション $X \to P_{X}^{1}$ を持つことからわかる．全射性を示そう．

$W$ を $P_{X}^{1} \times_{X} P_{X}^{1}$ の ${\infty} \times_{X} {\infty}$ に沿ったブローアップとする．閉埋め込み
$i : P_{X}^{1} \to P_{X}^{1} \times_{X} P_{X}^{1}; x \mapsto (x, \infty)$
の $W$ における強変換を $\tilde{i} : P_{X}^{1} \to W$ とする．
$A_{X}^{1} \times_{X} A_{X}^{1} \to P_{X}^{2}; (x, y) \mapsto (x : y : 1)$
は双有理射 $π : W \to P_{X}^{2}$ に一意的に延長され、以下の可換図式が得られる：
$P_{X}^{1} \tilde{i} q W π X (0 : 1 : 0) P_{X}^{2} .$
仮定より $F (π)$ は同型なので、 $F (\tilde{i})$ の全射性を示せばよい．以下の図式は可換である：
$W P_{X}^{1} i \tilde{i} P_{X}^{1} \times_{X} P_{X}^{1} .$
よって $F (i)$ の全射性を示せばよい．これは $i$ がレトラクションを持つことからわかる．

${Var}_{k}$ における双有理射全体のクラスを $S_{b}$ , 安定双有理射（支配的射であって関数体の拡大が純超越的であるもの）全体のクラスを $S_{r}$ とします．明らかに $S_{b} \subset S_{r}$ です．上の定理から直ちに次のことがわかります．

標準的な関手 $S_{b}^{- 1} {Var}_{k} \to S_{r}^{- 1} {Var}_{k}$ は圏同値を与える．

参考文献

[KS15] B. Kahn and R. Sujatha, Birational geometry and localisation of categories, Doc. Math., Extra vol.: Alexander S. Merkurjev’s sixtieth birthday (2015) 277334.

投稿日：2020年12月15日

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