Dirichlet beta functionの特殊値

はじめに

Dirichlet beta functionは

$\d\beta(n):=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^n} $

と定義されます。$n$が偶数の時の性質について分かっていることは少ないですが、$n=2$の時はCatalan's constantとして$G$や$C$と表されます。

この記事では$n$が奇数の時の特殊値を求めていきます。

求める

$ \begin{eqnarray*} &&\beta(2n+1)\\ &=&\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}\\ &=&\frac1{\Gamma(2n+1)}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\int_0^1x^{2k}\log^{2n}xdx\\ &=&\frac1{\Gamma(2n+1)}\int_0^1\log^{2n}x\sum_{k=0}^\infty(-x^2)^kdx\\ &=&\frac1{\Gamma(2n+1)}\int_0^1\frac{\log^{2n}x}{1+x^2}dx\\ &=&\frac1{2\Gamma(2n+1)}\int_0^\infty\frac{\log^{2n}x}{1+x^2}dx\\ &=&\frac1{4\Gamma(2n+1)}\int_0^\infty\frac{\log^{2n}\sqrt t}{\sqrt t(1+t)}dt~~~~~(t=x^2)\\ &=&\left.\frac1{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}\int_0^1 \frac{t^{u-1}}{1+t}dt\right|_{u=\frac12}\\ &=&\left.\frac1{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}B(u,1-u)\right|_{u=\frac12}\\ &=&\left.\frac1{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}\Gamma(u)\Gamma(1-u)\right|_{u=\frac12}\\ &=&\left.\frac1{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}\frac\pi{\sin\pi u}\right|_{u=\frac12}\\ &=&\left.\frac{\pi^{2n+1}}{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}\sec u\right|_{u=0}\\ &=&\left.\frac{\pi^{2n+1}}{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kE_{2k}}{(2k)!}u^{2k} \right|_{u=0}\\ &=&\frac{(-1)^nE_{2n}\pi^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}\qed \end{eqnarray*} $

よって、

$\d\beta(2n+1)=\frac{(-1)^nE_{2n}\pi^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}~~~~~~~~~~(n\in\Z_0^+)$が求まりました。

ここでの$E_{2n}$はオイラー数で、

$\d\text{sech}z=\sum_{k=0}^\infty\frac{E_{k}}{k!}z^k $

と定義されます。

おわりに

こちら にDirichlet beta functionに関する様々な性質が書かれているので、そちらを閲覧してみるのも良いかもしれません。お読みいただきありがとうございました。