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Dirichlet beta functionの特殊値

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

はじめに

Dirichlet beta functionは

$\d\beta(n):=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^n} $

と定義されます。$n$が偶数の時の性質について分かっていることは少ないですが、$n=2$の時はCatalan's constantとして$G$$C$と表されます。

この記事では$n$が奇数の時の特殊値を求めていきます。

求める

$ \begin{eqnarray*} &&\beta(2n+1)\\ &=&\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}\\ &=&\frac1{\Gamma(2n+1)}\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\int_0^1x^{2k}\log^{2n}xdx\\ &=&\frac1{\Gamma(2n+1)}\int_0^1\log^{2n}x\sum_{k=0}^\infty(-x^2)^kdx\\ &=&\frac1{\Gamma(2n+1)}\int_0^1\frac{\log^{2n}x}{1+x^2}dx\\ &=&\frac1{2\Gamma(2n+1)}\int_0^\infty\frac{\log^{2n}x}{1+x^2}dx\\ &=&\frac1{4\Gamma(2n+1)}\int_0^\infty\frac{\log^{2n}\sqrt t}{\sqrt t(1+t)}dt~~~~~(t=x^2)\\ &=&\left.\frac1{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}\int_0^1 \frac{t^{u-1}}{1+t}dt\right|_{u=\frac12}\\ &=&\left.\frac1{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}B(u,1-u)\right|_{u=\frac12}\\ &=&\left.\frac1{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}\Gamma(u)\Gamma(1-u)\right|_{u=\frac12}\\ &=&\left.\frac1{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}\frac\pi{\sin\pi u}\right|_{u=\frac12}\\ &=&\left.\frac{\pi^{2n+1}}{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}\sec u\right|_{u=0}\\ &=&\left.\frac{\pi^{2n+1}}{2^{2n+2}\Gamma(2n+1)}\frac{\partial^{2n}}{\partial u^{2n}}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kE_{2k}}{(2k)!}u^{2k} \right|_{u=0}\\ &=&\frac{(-1)^nE_{2n}\pi^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}\qed \end{eqnarray*} $

よって、

$\d\beta(2n+1)=\frac{(-1)^nE_{2n}\pi^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}~~~~~~~~~~(n\in\Z_0^+)$が求まりました。

ここでの$E_{2n}$はオイラー数で、

$\d\text{sech}z=\sum_{k=0}^\infty\frac{E_{k}}{k!}z^k $

と定義されます。

おわりに

こちら にDirichlet beta functionに関する様々な性質が書かれているので、そちらを閲覧してみるのも良いかもしれません。お読みいただきありがとうございました。

投稿日:20201215

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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