Dirichlet beta functionの特殊値

はじめに

Dirichlet beta functionは

${\displaystyle \beta (n):=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^n}}$

と定義されます。$n$が偶数の時の性質について分かっていることは少ないですが、$n=2$の時はCatalan's constantとして$G$や$C$と表されます。

この記事では$n$が奇数の時の特殊値を求めていきます。

求める

$\begin{array}{rcl}& & \beta (2n+1)\\ & =& \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^{2n+1}}\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(2n+1)}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{\int }_0^1{x}^{2k}{\log }^{2n}xdx\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(2n+1)}{\int }_0^1{\log }^{2n}x\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-x^2{)}^{k}dx\\ & =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }(2n+1)}{\int }_0^1\frac{{\log }^{2n}x}{1+x^2}dx\\ & =& \frac{1}{2\mathrm{\Gamma }(2n+1)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\log }^{2n}x}{1+x^2}dx\\ & =& \frac{1}{4\mathrm{\Gamma }(2n+1)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\log }^{2n}\sqrt{t}}{\sqrt{t}(1+t)}dt(t=x^2)\\ & =& {\frac{1}{2^{2n+2}\mathrm{\Gamma }(2n+1)}\frac{{\partial }^{2n}}{\partial u^{2n}}{\int }_0^1\frac{t^{u-1}}{1+t}dt|}_{u=\frac{1}{2}}\\ & =& {\frac{1}{2^{2n+2}\mathrm{\Gamma }(2n+1)}\frac{{\partial }^{2n}}{\partial u^{2n}}B(u,1-u)|}_{u=\frac{1}{2}}\\ & =& {\frac{1}{2^{2n+2}\mathrm{\Gamma }(2n+1)}\frac{{\partial }^{2n}}{\partial u^{2n}}\mathrm{\Gamma }(u)\mathrm{\Gamma }(1-u)|}_{u=\frac{1}{2}}\\ & =& {\frac{1}{2^{2n+2}\mathrm{\Gamma }(2n+1)}\frac{{\partial }^{2n}}{\partial u^{2n}}\frac{\pi }{\sin \pi u}|}_{u=\frac{1}{2}}\\ & =& {\frac{{\pi }^{2n+1}}{2^{2n+2}\mathrm{\Gamma }(2n+1)}\frac{{\partial }^{2n}}{\partial u^{2n}}\sec u|}_{u=0}\\ & =& {\frac{{\pi }^{2n+1}}{2^{2n+2}\mathrm{\Gamma }(2n+1)}\frac{{\partial }^{2n}}{\partial u^{2n}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{E}_{2k}}{(2k)!}{u}^{2k}|}_{u=0}\\ & =& \frac{(-1{)}^n{E}_{2n}{\pi }^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}◻\end{array}$

よって、

${\displaystyle \beta (2n+1)=\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}{\pi }^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}(n\in {\mathbb{Z}}_0^{+})}$が求まりました。

ここでの$E_{2n}$はオイラー数で、

${\displaystyle \text{sech}z=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{E_k}{k!}{z}^k}$

と定義されます。

おわりに

こちら にDirichlet beta functionに関する様々な性質が書かれているので、そちらを閲覧してみるのも良いかもしれません。お読みいただきありがとうございました。