$n$を2以上の整数とする。ボタンを押すと、1以上$n$以下の整数が一つ表示されるモニターがある。表示される整数値$X$は、以下のように確率が設定されている確率変数とする。
$$
P(X=k)=\dfrac{1}{2^{k}}, \qquad (k=1,2,\dots,n-1)
$$
$$
P(X=n)=\dfrac{1}{2^{n-1}}
$$
⑴ 期待値$E(X)$を求めよ。
⑵ 分散$V(X)$を求めよ。
⑶ 極限値
$$
\lim_{n \to \infty}E(X),\qquad\lim_{n \to \infty}V(X)
$$
をそれぞれ求めよ。
以下、$n \longrightarrow \infty$とする。$m$を正の整数として、ボタンを$m$回押したときに表示された数の平均を$Y$とする。ただし、複数回ボタンを押して表示される値は互いに独立であるとする。
⑷ $E(Y),\quad V(Y)$をそれぞれ求めよ。
⑸ $Y>3$となる確率が2.5％以下となる$m$の最小値を求めよ。ただし、中心極限定理を認め、標準正規分布の数表を各自活用してよい。