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mod pでの2次方程式

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この記事は 日曜数学 Advent Calendar 2020 の17日目の記事です。
日曜数学Advent Calender初日のtsujimotterさんによる 類体論入門 と関係する内容として、modpでの2次方程式の解の個数についてのお話をします。
tsujimotterさんの記事の方が豊富な内容を含んでいますが、この記事も合わせてお読みいただくとより楽しめるのではないかと思います。

前提知識は2次方程式と合同式です。ここで紹介する話は係数b,cが整数であるような2次方程式x2+bx+c=0の解の有無を実数の範囲ではなくmodpで考えることです。

2次方程式の実数解の個数

はじめに係数b,cが実数の場合の2次方程式x2+bx+c=0の実数解の個数について復習する。2次方程式の解は、D=b24cとして x=b±D2で与えられる。

実数の範囲に解が存在するか否かは判別式D=b24cの正負でわかる。D>0であれば実数の範囲に±Dを持ち、D<0であれば実数の範囲にDが存在しない。D=0の場合には解が一つになる。

modpで解の公式

では、本題であるb,cが整数の場合の2次方程式x2+bx+c=0が素数pについてmodpでの解の個数を調べる。

解の公式はp2でなければ同じように導出できる。まず平方完成するため、modpでの12について準備する。

pが奇数ならばmodpにおいて2は逆数12を持つ。

pが奇数のときp+1は偶数であるので、n=p+12は整数である。2n=p+1=1modpなので、このnmodpでの2の逆数である。

つまり、12=n=p+12である。

平方完成により解の公式を導出しよう。 x2+bx+c=(x+b2)2b24+c=0(x+b2)2=b24c4x=b2±b24c2となる。この等式は全てmodpでの合同式であることに注意せよ。

次に、modpb24cが存在するかだが、これがp,b,cに依存して変わる。D=b24cを実数の場合と同様に判別式と呼ぶことにする。

x2+x+1=0という方程式について考えよう。 これの判別式はD=3である。

例えばp=3においてはD=0となるためx2+x+1=0は重解を持つ。
実際、(x+2)2=x2+4x+4=x2+x+1mod3である。

p=5であればmod5D=3=2は平方数ではないため解を持たない。

p=7であればmod7D=3=4=22であるから、x=12±1=3±1が解になる。

p=2の場合は上の解の公式は使えないので、この場合は別に扱うことにする。

x2+1

ではx2+1=0を考えよう。 D=4となる。4=22だから、結局1が存在するか否かが問題となる。もちろんこのことは解の公式を使わずともx2=1と変形してもわかる。判別式を用いることで、p2において重解を持たないことが明確になる。modpにおける1が存在について、tsujimotterさんの記事にあるとおり14=1であることを利用する。ここで、有限体の乗法群が巡回群であるという以下の事実を用いよう。

ある整数xが存在して、modp1,x,x2,x3,,xp2は全て相異なり、さらにxp1=1となる。

p=3であれば、mod322=4=1である。

p=5であれば、mod522=4,23=8=3,24=1となる。

p=7であれば、mod732=9=2,33=6,34=18=4,35=12=5,36=15=1となる。

p=13であれば、mod1322=4,23=8,24=16=3,25=6,26=12=1となり、さらに27=21,28=22,29=23,210=24,211=25,212=26=1となる。

このことから、p14で割り切れることと1modpで存在することが同値であることがわかる。

pを奇素数とする。
p=1mod4のときx2+1=0modpで解を2個持ち、p=3mod4のときx2+1=0modpで解を持たない。

14乗して初めて1になる数のうち一つである。上の事実から、modpにおいて、p14で割り切れる場合、x(p1)/4が条件を満たす。逆に1が存在したとすると、ある正の整数kを用いてxk=1とかけ、さらにこのkp12より小さく取れる。この時x4k=14=1となり4kp1の倍数とわかるが、上のkの条件から4k=p1となってp14で割り切れる。

上で紹介した事実、有限体の乗法群が巡回群であることについてはいずれ別の記事にします。

具体的に幾つかの場合を見てみよう。

p=5であれば、22=4=1mod5である。p=13であれば、52=25=1mod13である。

p=3なら12=22=1mod3なのでx2=1mod3なるxは存在しない。p=7なら12=62=1,22=52=4,32=42=2mod7であるのでやはりx2=1mod7なるxは存在しない。

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次に、tsujimotterさんの記事で紹介されていたQ(7)の場合を考える。考えるべき二次方程式はx2+x+2=0である。

x2+7=0ではダメかということが気になるかもしれない。

この二つの間には判別式が7になるか28になるかの違いがある。p2ではmodpでの解の個数はどちらでも一緒である。

一方でp=2の場合にはx2+7=0mod2での解はx=1が重解になるが、x2+x+2=0mod2での解の個数x=0,12個である。

この方程式のmodpでの解の個数が2,0のいずれかであることが、pmod71,2,4か否かで判別できる。平方剰余の相互法則を知っていれば、7modpで平方数であるかという条件にpmod7が関係してくることがわかり、解の有無がpmod7で判別できることがわかる。平方剰余の相互法則については冒頭の動画でも簡単に紹介しています。

円分体的な見方についても考えてみよう。1の原始7乗根の有無について、まず上と同様に有限体の乗法群が巡回群であるという事実を用いれば、p17で割り切れるかどうかが対応する。p17で割り切れる、つまりp=1mod7の場合にはmodp1の原始7乗根ζ7が存在することになり、tsujimotterさんの記事にも登場する式 7=(ζ7+ζ72+ζ74)(ζ73+ζ75+ζ76)を用いて7を持つことがわかる。

ところが1の原始7乗根がなくても7があることはありうる。それはp=2,4mod7の場合である。上の例で出てきたように、2,4mod7での平方数になっているが、これは実はp317で割り切れるという条件になっている。この3modp7をもてば3次方程式の解としてmodp1の原始7乗根を作ることができることと関係する。

上の事実についても詳しくは有限体についての説明が必要なので、別の機会に解説します。

素数の分解との関係

この記事で説明したx2+1=0modpの解の個数の話とtsujimotterさんの記事にある素数pZ[i]の分解の関係について、環の言葉を使って簡単に説明します。以下では環論についての基本的な知識を仮定します。

まずx2+1=0modpFp[x]/(x2+1)という環を考えることに対応する。pが奇素数のとき、x2+1=0modpの解の有無はx2+11次式の積に因数分解できるかできないかに対応し、これがFp[x]/(x2+1)2つの体の直積になるか体になるかに対応する。

一方で、Z[i]においてpが素数のままであればZ[i]/(p)は体であり、pZ[i]における素数の積に分解するならZ[i]/(p)2つの体の直積になる。

ところで上で出てきた二つの環Fp[x]/(x2+1)Z[i]/(p)は見た目は違うものの同じ構造を持つ環である。というのも、Z[i]=Z[x]/(x2+1),Fp=Z/pとそれぞれ表示することで、Fp[x]/(x2+1)Z[i]/(p)はいずれもZ[x]/(x2+1,p)と同型であることがわかる。

ちなみにp=2のとき、この環はF2[x]/(x2)と同型になり、これは体でも体の直積でもない。

幾何的に考える

もう少し幾何的に考えることもできると思いますが、これについては改めて別の記事にしてみようと思います。

投稿日:20201216
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