この記事は
日曜数学 Advent Calendar 2020
の17日目の記事です。
日曜数学Advent Calender初日のtsujimotterさんによる
類体論入門
と関係する内容として、での次方程式の解の個数についてのお話をします。
tsujimotterさんの記事の方が豊富な内容を含んでいますが、この記事も合わせてお読みいただくとより楽しめるのではないかと思います。
前提知識は次方程式と合同式です。ここで紹介する話は係数が整数であるような次方程式の解の有無を実数の範囲ではなくで考えることです。
次方程式の実数解の個数
はじめに係数が実数の場合の次方程式の実数解の個数について復習する。次方程式の解は、として で与えられる。
実数の範囲に解が存在するか否かは判別式の正負でわかる。であれば実数の範囲にを持ち、であれば実数の範囲にが存在しない。の場合には解が一つになる。
で解の公式
では、本題であるが整数の場合の次方程式が素数についてでの解の個数を調べる。
解の公式はがでなければ同じように導出できる。まず平方完成するため、でのについて準備する。
が奇数のときは偶数であるので、は整数である。なので、このがでのの逆数である。
つまり、である。
平方完成により解の公式を導出しよう。 となる。この等式は全てでの合同式であることに注意せよ。
次に、でが存在するかだが、これがに依存して変わる。を実数の場合と同様に判別式と呼ぶことにする。
という方程式について考えよう。 これの判別式はである。
例えばにおいてはとなるためは重解を持つ。
実際、である。
であればでは平方数ではないため解を持たない。
であればでであるから、が解になる。
の場合は上の解の公式は使えないので、この場合は別に扱うことにする。
ではを考えよう。 となる。だから、結局が存在するか否かが問題となる。もちろんこのことは解の公式を使わずともと変形してもわかる。判別式を用いることで、において重解を持たないことが明確になる。におけるが存在について、tsujimotterさんの記事にあるとおりであることを利用する。ここで、有限体の乗法群が巡回群であるという以下の事実を用いよう。
ある整数が存在して、では全て相異なり、さらにとなる。
このことから、がで割り切れることとがで存在することが同値であることがわかる。
を奇素数とする。
のときはで解を個持ち、のときはで解を持たない。
は乗して初めてになる数のうち一つである。上の事実から、において、がで割り切れる場合、が条件を満たす。逆にが存在したとすると、ある正の整数を用いてとかけ、さらにこのはより小さく取れる。この時となりがの倍数とわかるが、上のの条件からとなってがで割り切れる。
上で紹介した事実、有限体の乗法群が巡回群であることについてはいずれ別の記事にします。
具体的に幾つかの場合を見てみよう。
ならなのでなるは存在しない。ならであるのでやはりなるは存在しない。
次に、tsujimotterさんの記事で紹介されていたの場合を考える。考えるべき二次方程式はである。
ではダメかということが気になるかもしれない。
この二つの間には判別式がになるかになるかの違いがある。ではでの解の個数はどちらでも一緒である。
一方での場合にははでの解はが重解になるが、はでの解の個数の個である。
この方程式のでの解の個数がのいずれかであることが、でか否かで判別できる。平方剰余の相互法則を知っていれば、がで平方数であるかという条件にが関係してくることがわかり、解の有無がで判別できることがわかる。平方剰余の相互法則については冒頭の動画でも簡単に紹介しています。
円分体的な見方についても考えてみよう。の原始乗根の有無について、まず上と同様に有限体の乗法群が巡回群であるという事実を用いれば、がで割り切れるかどうかが対応する。がで割り切れる、つまりの場合にはでの原始乗根が存在することになり、tsujimotterさんの記事にも登場する式 を用いてを持つことがわかる。
ところがの原始乗根がなくてもがあることはありうる。それはの場合である。上の例で出てきたように、はでの平方数になっているが、これは実はがで割り切れるという条件になっている。このはでをもてば次方程式の解としてでの原始乗根を作ることができることと関係する。
上の事実についても詳しくは有限体についての説明が必要なので、別の機会に解説します。
素数の分解との関係
この記事で説明したの解の個数の話とtsujimotterさんの記事にある素数のの分解の関係について、環の言葉を使って簡単に説明します。以下では環論についての基本的な知識を仮定します。
まずはという環を考えることに対応する。が奇素数のとき、の解の有無はが次式の積に因数分解できるかできないかに対応し、これががつの体の直積になるか体になるかに対応する。
一方で、においてが素数のままであればは体であり、がにおける素数の積に分解するならはつの体の直積になる。
ところで上で出てきた二つの環とは見た目は違うものの同じ構造を持つ環である。というのも、とそれぞれ表示することで、とはいずれもと同型であることがわかる。
ちなみにのとき、この環はと同型になり、これは体でも体の直積でもない。
幾何的に考える
もう少し幾何的に考えることもできると思いますが、これについては改めて別の記事にしてみようと思います。