【高校数学】【解答】見た目が面白そうな数列の和を発見したので問題にしてみる。

解答

$$(1)$$
$$2^n=(1+1)^n \\~~~~= {}_n \mathrm{ C }_0+ {}_n \mathrm{ C }_1 + {}_n \mathrm{ C }_2 +......+ {}_n \mathrm{ C }_n ~~~(\because二項定理) \\~~~~= \sum_{k=0}^{n} {}_n \mathrm{ C }_k ~~~(証明完了) $$

$$(2)$$
$$aをある定数とする。$$
$$(1+a)^n= {}_n \mathrm{ C }_0 + {}_n \mathrm{ C }_1 a+ {}_n \mathrm{ C }_2 a^2+......+ {}_n \mathrm{ C }_n a^n \\~~~~~~~~~~~~~~= \sum_{k=0}^{n}a^k {}_n \mathrm{ C }_k $$
$$したがって、a=\frac1nを代入して極限値を取ると、$$
$$ \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{ {}_n \mathrm{ C }_k }{n^k}= \lim_{n \to \infty}(1+\frac1n)^n \\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=e $$