【高校数学】【解答】見た目が面白そうな数列の和を発見したので問題にしてみる。

解答

$$(1)$$
$$\begin{gathered} 2^n=(1+1{)}^n \\ ={}_n{\mathrm{C}}_0+{}_n{\mathrm{C}}_1+{}_n{\mathrm{C}}_2+......+{}_n{\mathrm{C}}_n(\because 二項定理) \\ =\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k(証明完了) \end{gathered}$$

$$(2)$$
$$aをある定数とする。$$
$$\begin{gathered} (1+a{)}^n={}_n{\mathrm{C}}_0+{}_n{\mathrm{C}}_{1}a+{}_n{\mathrm{C}}_2{a}^2+......+{}_n{\mathrm{C}}_n{a}^n \\ =\sum _{k=0}^n{a}^k{}_n{\mathrm{C}}_k \end{gathered}$$
$$したがって、a=\frac{1}{n}を代入して極限値を取ると、$$
$$\begin{gathered} \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=0}^n\frac{{}_n{\mathrm{C}}_k}{n^k}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n \\ =e \end{gathered}$$