【解決済み】上極限についての質問

ここでは、 ${α_{n}}_{k}^{\infty}$ のの上限を $A_{k}$ 、 $A = lim_{n \to \infty}$ $s u p α_{n}$ とする。

上極限が有限の時は、任意の $ε > 0$ に対し、 $n_{0}$ があり $n_{0} \leq n$ ならば $α_{n} < A + ε$ が成り立ち、他方 $α_{n} > A - ε$ を満たす $α_{n}$ が無限個ある。

$n_{0}$ を $A_{n_{0}}$ < $A + ε$ となるようにとれば、 $n_{0} \leq n$ のとき $α_{n} \leq A_{n_{0}}$ で $α_{n} < A + ε$ となる。

$α_{n} > A - ε$ を満たす $α_{n}$ が有限個しかないとすると、 $n_{0}$ があり $n_{0} \leq n$ なら $α_{n} \leq A - ε$ となり、 $A_{n_{0}} \leq A - ε$ となるがこれは不可能である。

この赤字の部分がなぜそうなるかよく理解できません。初投稿で見づらい部分もあるかと思いますが、どなたかご解答よろしくお願いします。
足りないところや情報があればコメント等で伝えてもらうとありがたいです。

出典:複素解析,L.V.アールフォルス著

投稿日：2020年12月18日

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アールフォルス博士の『複素解析』をのんびり進めています。難しいことがあったらここで質問させていただきます。ご容赦ください。

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