次数がpで割れない既約指標とシロー群

$\chi \in Irr(G)$を次数が$p$で割れないものとしてとり、$\chi$を$L$に制限したときにconstituentとして出てくる既約指標のひとつを$\theta \in Irr(L)$とする。このときCliffordの定理より$\chi_L$は$\theta$の共役な指標の線形和で書けることが分かる。
つまり、$\theta$の$G$の共役全体を{$\theta_1$, $\theta_2$, $\dots$, $\theta_t$ }とすると、
$$ \chi_L = (\chi_L,\,\,\theta)_L ・ \sum_{i=1}^{t} \theta_i $$
と書ける。また$P$から{$\theta_1$, $\theta_2$, $\dots$, $\theta_t$ }への共役作用を考えて、その軌道全体を{$\mathcal{O}_1$, $\mathcal{O}_2$, $\dots$, $\mathcal{O}_k$ }とし、さらに$\Delta_i$を軌道$\mathcal{O}_i$に属する指標の和とすると、
$$ \chi_L = (\chi_L,\,\,\theta)_L ・ \sum_{i=1}^{t} \theta_i = (\chi_L,\,\,\theta)_L ・ \sum_{i=1}^{k} \Delta_i $$
と書き直すことが出来る。

また、$\mathcal{O}_i$の代表元を$\eta_i \in Irr(L)$としておくと、$\Delta_i$内に属する指標の次数は全て$\eta_i(1)$なので、$\Delta_i(1)=|\mathcal{O}_i|\eta_i(1)$となる。したがって、

$$ \chi_L(1) = (\chi_L,\,\,\theta)_L ・ \sum_{i=1}^{k} \Delta_i(1) = (\chi_L,\,\,\theta)_L ・ \sum_{i=1}^{k} |\mathcal{O}_i|\eta_i(1) $$
となる。少し分かりやすく書き直してみると、
$$ \chi_L(1) = (\chi_L,\,\,\theta)_L・(|\mathcal{O}_1|\eta_1(1) + |\mathcal{O}_2|\eta_2(1) + \dots + |\mathcal{O}_k|\eta_k(1)) $$
という状況である。

今、左辺の$\chi(1)$は最初の$\chi$の取り方から$p$で割れない自然数であり、一方の右辺の各項にある$|\mathcal{O}_i|$は$P$の作用による軌道なので$p$のべきになっている。もしすべての$i$について$|\mathcal{O}_i|$が$1$ではないならば、右辺が$p$で割れることになってしまい矛盾、よって$|\mathcal{O}_j|=1$となる添え字$j$がとれる。繰り返すが$|\mathcal{O}_j|$は$P$の作用による軌道であった。その大きさが$1$ということは、この軌道に属する$L$の既約指標は$P$-不変であるということである。以上より$\chi_L$は$P$-不変な$L$の既約指標をconstituentとして持つことがわかり、命題の前半が示せたことになる。

次に、その$P$-不変な$\chi_L$のconstituentが２つあったとし、それらを$\theta$, $\eta$とする。ここでまたCliffordの定理を使うと$\theta$と$\eta$は共役である、つまり$\theta^g = \eta$となる$g \in G$が取れる。$G_{\eta}$を$\eta$の固定部分群、つまり
$$ G_{\eta} = \{\,x \in G\,|\,\eta^x = \eta \} $$
とする。今$\eta$は$P$-不変であるとしているので$P \subseteq G_{\eta}$である。このことから$P^g(:=g^{-1}Pg) \subseteq G_{\eta}$もわかる。元々$P$は$G$のシロー群としてとっていたので$P$と$P^g$は$G_{\eta}$のシロー群でもある。シローの定理から$P$と$P^g$は「$G_{\eta}$で」共役になるので
$$ (P^g)^a = P $$
となる$a \in G_{\eta}$を拾うことができる。つまり$ga \in N_G(P)$である。したがって
$$ \theta^{ga} = (\theta^g)^a = \eta^a = \eta $$
となり$\theta$と$\eta$は$N_G(P)$で共役であることが分かった。