次数がpで割れない既約指標とシロー群

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はじめに

こんにちは、MakkyoExistsです。本日も表現論の定理を紹介したいと思います。

指標論では次数が $p$ で割れない指標が大切な役割を果たすことがあります。それとシロー群の間には何か深い関係があるのではないかと日夜研究されているわけですが、今回はそれを研究するときに役に立つ(であろう基本的な)補題を示します。

細かな記号の定義は各章でまとめますが、主張は以下の通りです。

$G$ を有限群、 $p$ を任意の素数とし、 $P$ を $G$ シロー $p$ -部分群とする。また $L$ を $G$ の正規部分群とし、 $χ$ を次数が $p$ で割れない $G$ の既約指標とする。このとき $χ$ を $L$ に制限した $L$ の指標 $χ_{L}$ は $P$ -不変な $L$ の既約指標をconstituentとして持ち、またそれが２つ以上あればそれらはどの２つも $N_{G} (P)$ で共役となる。

いつも僕が書く記事を見て頂ければお分かりいただけるかと思いますが、今回の定理はいつもよりやや重めです…笑なのでいつもより誤植の可能性高めです。読んでみて分かりづらかったところや誤字脱字などありましたらコメントでお知らせください。(先に謝るスタイル…笑)

あ、そうだ内容に入る前にひとつ。今回紹介するこの定理はGabriel Navarro著『Character Theory and the McKay Conjecture』という本のLemma9.3に載っています。もし詳しく知りたい方いらっしゃいましたらこちらも参照してみてください（というか、ここに載っている証明よりは丁寧に書くつもりではありますが…笑）

では、見て行きましょう。

基本事項の確認

$I r r (G)$ を有限群 $G$ の( $C$ 上の)既約指標全体とします。既約指標全体は類関数(共役類上で同じ値を取る関数)全体の基底になっています。基底の元同士には内積を定義することが出来ます。

基底の内積

$χ_{1}$ , $χ_{2}$ を $G$ の既約指標とする。このとき
$(χ_{1}, χ_{2})_{G} := \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} χ_{1} (g) χ_{2} (g^{- 1})$
とする。これを $χ_{1}$ と $χ_{2}$ の内積(inner product)という。

内積は内積で大事な性質がたくさんありますが、ここでは一旦スルーします。とりあえずなにか複素数が対応するということだけです。

次に指標の共役についてです。これは有限群 $G$ とその正規部分群 $L$ をとって、 $L$ の指標に定義される概念です。

$G$ を有限群、 $L$ を $G$ の正規部分群とし、 $θ \in I r r (L)$ , $g \in G$ とする。このとき、
$θ^{g} (x) := θ (x^{g}) := θ (g^{- 1} x g)$
と置く。 $θ^{g}$ を $θ$ の共役(conjugate)という。 $θ^{g}$ は $L$ の指標になっている。

与えられた有限群の既約指標の定義域を正規部分群に制限して考えることはよくあることです。制限したところで既約になるとは限らないのですが、そういった状況を考察する上で以下の定義を導入します。

constituent, 指標の制限

$G$ を有限群、 $L$ を $G$ の正規部分群とする。 $χ \in I r r (G)$ をとり、この定義域を $L$ に制限したものを $χ_{L}$ と書く（つまり $χ_{L} := χ |_{L}$ ）。

一般に $χ_{L}$ が「 $L$ の」既約指標になるとは限らない。しかし $C$ 上の表現（また指標）は完全可約なので $χ_{L}$ は $L$ の既約指標の線形和で書き表される。そのとき出てくる $L$ の既約指標を $χ_{L}$ の(既約な)constituent(irreducible constituent)という。

constituentは日本語でなんと言われるんでしょうね？笑いつもconstituentと言っているのでここだけ英語のままにしてみました(分かったら訂正しますたぶん笑)

次の定理はCliffordの定理と呼ばれていて、 $G$ の既約指標を正規部分群 $L$ に制限したときの情報として基本的な（かつ強力な）ことを主張しています。

Cliffordの定理

$G$ を有限群、 $L$ を $G$ の正規部分群とする。また $χ \in I r r (G)$ とし $θ$ を $L$ の既約指標で $χ_{L}$ のconstituentであるものとする。そして $θ$ の $G$ の共役全体を{ $θ_{1}$ , $θ_{2}$ , $\dots$ , $θ_{t}$ }としたとき、
$χ_{L} = (χ_{L}, θ)_{L} ・ \sum_{i = 1}^{t} θ_{i}$
となる。

つまり正規部分群に既約指標を制限すると、共役なものしか出てこないということですね。表現論の初歩ではありますがなかなか強い定理ですね。笑

本題

ではいよいよ冒頭で紹介した定理

を示したいと思います。

$χ \in I r r (G)$ を次数が $p$ で割れないものとしてとり、 $χ$ を $L$ に制限したときにconstituentとして出てくる既約指標のひとつを $θ \in I r r (L)$ とする。このときCliffordの定理より $χ_{L}$ は $θ$ の共役な指標の線形和で書けることが分かる。
つまり、 $θ$ の $G$ の共役全体を{ $θ_{1}$ , $θ_{2}$ , $\dots$ , $θ_{t}$ }とすると、
$χ_{L} = (χ_{L}, θ)_{L} ・ \sum_{i = 1}^{t} θ_{i}$
と書ける。また $P$ から{ $θ_{1}$ , $θ_{2}$ , $\dots$ , $θ_{t}$ }への共役作用を考えて、その軌道全体を{ $O_{1}$ , $O_{2}$ , $\dots$ , $O_{k}$ }とし、さらに $Δ_{i}$ を軌道 $O_{i}$ に属する指標の和とすると、
$χ_{L} = (χ_{L}, θ)_{L} ・ \sum_{i = 1}^{t} θ_{i} = (χ_{L}, θ)_{L} ・ \sum_{i = 1}^{k} Δ_{i}$
と書き直すことが出来る。

また、 $O_{i}$ の代表元を $η_{i} \in I r r (L)$ としておくと、 $Δ_{i}$ 内に属する指標の次数は全て $η_{i} (1)$ なので、 $Δ_{i} (1) = | O_{i} | η_{i} (1)$ となる。したがって、

$χ_{L} (1) = (χ_{L}, θ)_{L} ・ \sum_{i = 1}^{k} Δ_{i} (1) = (χ_{L}, θ)_{L} ・ \sum_{i = 1}^{k} | O_{i} | η_{i} (1)$
となる。少し分かりやすく書き直してみると、
$χ_{L} (1) = (χ_{L}, θ)_{L} ・ (| O_{1} | η_{1} (1) + | O_{2} | η_{2} (1) + \dots + | O_{k} | η_{k} (1))$
という状況である。

今、左辺の $χ (1)$ は最初の $χ$ の取り方から $p$ で割れない自然数であり、一方の右辺の各項にある $| O_{i} |$ は $P$ の作用による軌道なので $p$ のべきになっている。もしすべての $i$ について $| O_{i} |$ が $1$ ではないならば、右辺が $p$ で割れることになってしまい矛盾、よって $| O_{j} | = 1$ となる添え字 $j$ がとれる。繰り返すが $| O_{j} |$ は $P$ の作用による軌道であった。その大きさが $1$ ということは、この軌道に属する $L$ の既約指標は $P$ -不変であるということである。以上より $χ_{L}$ は $P$ -不変な $L$ の既約指標をconstituentとして持つことがわかり、命題の前半が示せたことになる。

次に、その $P$ -不変な $χ_{L}$ のconstituentが２つあったとし、それらを $θ$ , $η$ とする。ここでまたCliffordの定理を使うと $θ$ と $η$ は共役である、つまり $θ^{g} = η$ となる $g \in G$ が取れる。 $G_{η}$ を $η$ の固定部分群、つまり
$G_{η} = {x \in G | η^{x} = η}$
とする。今 $η$ は $P$ -不変であるとしているので $P \subseteq G_{η}$ である。このことから $P^{g} (:= g^{- 1} P g) \subseteq G_{η}$ もわかる。元々 $P$ は $G$ のシロー群としてとっていたので $P$ と $P^{g}$ は $G_{η}$ のシロー群でもある。シローの定理から $P$ と $P^{g}$ は「 $G_{η}$ で」共役になるので
$(P^{g})^{a} = P$
となる $a \in G_{η}$ を拾うことができる。つまり $g a \in N_{G} (P)$ である。したがって
$θ^{g a} = (θ^{g})^{a} = η^{a} = η$
となり $θ$ と $η$ は $N_{G} (P)$ で共役であることが分かった。