大学数学基礎議論

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ZFCの公理一覧と誤解しやすいポイント

集合論,ZFC

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はじめに

比較的軽度の誤解をしてる人向けです。

この記事ではZFCの公理一覧と誤解しやすいポイントについてまとめています。

ZFCの公理一覧

まず、論理式の略記と自由変数についてです。

$P$ を論理式とする.

$P (x)$ は「 $P$ の中に現れる変数 $x$ に注目する」の意味で, $P$ と $P (x)$ は同じ文字列.
$\forall x \in a P (x)$ は $\forall x (x \in a \Rightarrow P (x))$ の略記.
$\exists x \in a P (x)$ は $\exists x (x \in a \land P (x))$ の略記.
$\exists! x P (x)$ は $\exists x (P (x) \land \forall y (P (y) \Rightarrow x = y))$ の略記.
$\exists! x \in a P (x)$ は $\exists! x (x \in a \land P (x))$ の略記.
$x \notin y$ は $\neg x \in y$ の略記
$\Rightarrow, \lor, \land, \Leftrightarrow, \neg, \forall, \exists, =, \in$ と変数記号だけで書かれた論理式を集合論の論理式とよぶ.
(読みやすさのための括弧 $()$ やカンマ,も含む)
(ざっくり) $\forall, \exists$ の直後にない変数を自由変数とよぶ.

今回は $\emptyset$ や $\subseteq$ などを一切定義せずにZFCを書きます。

ZFC

外延性公理
$\forall x \forall y ((\forall z (z \in x \Leftrightarrow z \in y)) \Rightarrow x = y)$
分出公理図式
$P$ を集合論の論理式, $P$ の $x, z$ 以外の自由変数は $w_{0}, \dots, w_{i - 1}$ で, $y$ は $P$ の自由変数でないとする.
$\forall w_{0} \dots \forall w_{i - 1} \forall x \exists y \forall z (z \in y \Leftrightarrow (z \in x \land P (z)))$
対公理
$\forall x \forall y \exists p (x \in p \land y \in p)$
和集合公理
$\forall x \exists u \forall y \in x \forall z \in y z \in u$
冪集合公理
$\forall x \exists p \forall z ((\forall y \in z y \in x) \Rightarrow z \in p)$
無限公理
$\exists N ((\exists e \in N \forall z z \notin e) \land \forall x \in N \exists s \in N \forall z (z \in s \Leftrightarrow (z \in x \lor z = x)))$
置換公理図式
$P$ を集合論の論理式, $P$ の $a, x, y$ 以外の自由変数は $w_{0}, \dots, w_{i - 1}$ で, $b$ は $P$ の自由変数でないとする.
$\forall w_{0} \dots \forall w_{i - 1} \forall a ((\forall x \in a \exists! y P (x, y)) \Rightarrow \exists b \forall x \in a \exists y \in b P (x, y))$
基礎の公理
$\forall x \forall w \in x \exists y \in x \forall z \in x z \notin y .$
選択公理
$\forall a ((\forall x \in a \exists w w \in x) \Rightarrow$
　 $((\forall x, y \in a \forall z \in x (z \in y \Rightarrow x = y)) \Rightarrow \exists c \forall x \in a \exists! y \in c y \in x))$

公理図式

ZFCの公理の数は無限個

分出公理図式と置換公理図式は条件を満たす論理式 $P$ ごとに一つの公理があって、それを全部集めたものです。

なのでZFCの公理の数は無限個になります。

自由変数

分出公理図式と置換公理図式に「自由変数でない」という条件がついています。

読み飛ばしやすい条件かもしれませんが、これがないと矛盾します。

まずは分出公理図式です。

やらかした分出公理図式

$P$ を集合論の論理式, $P$ の $x, z,$ $y$ 以外の自由変数は $w_{0}, \dots, w_{i - 1}$ とする.
$\forall w_{0} \dots \forall w_{i - 1} \forall x \exists y \forall z (z \in y \Leftrightarrow (z \in x \land P (z)))$

やらかした分出公理図式を仮定すると $\forall x \forall z z \notin x$ .

$z \in x$ とする.

やらかした分出公理図式の $P$ に $z \notin y$ を代入すると

$\exists y \forall z (z \in y \Leftrightarrow (z \in x \land z \notin y))$ .

$z \in y$ とすると $z \notin y$ となり矛盾.

よって $z \notin y$ .

$z \in x$ と $z \notin y$ より $z \in y$ となり矛盾. $◻$

よって、すべての集合が空集合なので対公理などと矛盾します。

次に置換公理図式です。

やらかした置換公理図式

$P$ を集合論の論理式, $P$ の $a, x, y,$ $b$ 以外の自由変数は $w_{0}, \dots, w_{i - 1}$ とする.
$\forall w_{0} \dots \forall w_{i - 1} \forall b \forall a ((\forall x \in a \exists! y P (x, y)) \Rightarrow \exists b \forall x \in a \exists y \in b P (x, y))$

やらかした置換公理図式を仮定すると $\forall a \forall b ((\forall x \in a x \notin b) \Rightarrow \forall x x \notin a)$ .

$\forall x \in a x \notin b$ とする.

$\forall x \in a \exists! y (x = y \land y \notin b)$ は明らか.

やらかした置換公理図式の $P$ に $x = y \land y \notin b$ を代入すると

$\exists b \forall x \in a \exists y \in b (x = y \land y \notin b)$ .

$b$ を $b^{'}$ に書き直して

$\exists b^{'} \forall x \in a \exists y \in b^{'} (x = y \land y \notin b^{'})$ .

$x \in a$ とすると

$\exists y \in b^{'} (x = y \land y \notin b^{'})$

より $y \in b^{'}$ かつ $y \notin b^{'}$ となり矛盾. $◻$

よって、すべての互いに素な集合は空集合なので、空集合の存在や対公理などと矛盾します。

おわりに

ちゃんと条件を読んでください。

参考文献

[1]

K. Kunen (藤田博司訳), キューネン数学基礎論講義, 日本評論社, 2016

投稿日：2020年12月19日

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