神鳥奈紗さんの級数問題12を解いてみた

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問題
\begin{align*} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\zeta(n)}{n2^{2n}} ~=~? \end{align*}

解答

\begin{align*} &\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\zeta(n)}{n2^{2n}} \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n} \left(\frac{1}{4k}\right)^n \\ &= -\sum_{k=1}^{\infty}\left(\ln\left(1 - \frac{1}{4k}\right) + \frac{1}{4k}\right) \\ &= -\lim_{m\to \infty} \left\{\ln\left(\prod_{k=1}^{m} \left(1 - \frac{1}{4k}\right) \right) + \frac{H_m}{4} \right\}\\ &= \ln \Gamma\left(\frac34\right)-\lim_{m\to \infty}\left(\ln\Gamma\left(m + \frac34\right) - \ln\Gamma\left(m+1\right) + \frac{H_m}{4}\right) \\ \end{align*}
ここで，Stirlingの公式より$m\to \infty$のとき，
\begin{align*} &\ln\left(m+\frac34\right) - \ln\Gamma(m+1) \\ &\approx \ln\left(\sqrt{2\pi \left(m - \frac14\right)}\left(\frac{m-\frac14}{e}\right)^{m-\frac14}\right) - \ln\left(\sqrt{2\pi m}\left(\frac{m}{e}\right)^m\right) \\ &= \ln\left(m-\frac14\right) + \left(m-\frac14\right)\left(\ln\left(m-\frac14\right) - 1\right) - \ln(m) - m(\ln(m)-1) \\ &= \left(m + \frac12\right) \ln \left(1-\frac{1}{4m}\right) + \frac{1- \ln\left(m - \frac14\right)}{4} \end{align*}
よって，
\begin{align*} &\lim_{m\to \infty}\left(\ln\Gamma\left(m + \frac34\right) - \ln\Gamma\left(m+1\right) + \frac{H_m}{4}\right) \\ &= \lim_{m\to \infty} \left(m + \frac12\right) \ln \left(1-\frac{1}{4m}\right) + \frac14\lim_{m\to \infty} \left(1 + H_m - \ln\left(m - \frac14\right)\right) \\ &= \frac14 \lim_{m\to \infty} \frac{\ln\left(1 - \frac{1}{m}\right)}{1/m} + \frac14 + \frac14\lim_{m\to \infty} \left(H_m - \ln\left(m - \frac14\right)\right) \\ &= -\frac14 \lim_{m\to \infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{m}} + \frac14 + \frac{\gamma}{4} \\ &= \frac{\gamma}{4} \end{align*}
したがって，
\begin{align*} &\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\zeta(n)}{n2^{2n}} \\ &= \ln \Gamma\left(\frac34\right)-\lim_{m\to \infty}\left(\ln\Gamma\left(m + \frac34\right) - \ln\Gamma\left(m+1\right) + \frac{H_m}{4}\right) \\ &= \ln\Gamma\left(\frac34\right) - \frac{\gamma}{4} \end{align*}

投稿日：2020年12月19日

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Re_menal

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16歳　代数や積分，級数についての記事を書きます！（2021 年時点） → 17 歳　（無限）圏論についての記事を書きます！（2022 年 12 月時点）

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