Grothendieck群

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本稿の目的は $G r o t h e n d i e c k$ 群を定義することである。

G r o t h e n d i e c k

群

$M$ を可換モノイドとする。可換群 $[M]$ とモノイド準同型 $ϕ : M \to [M]$ の組が次の条件を満たすとき、 $([M], ϕ)$ は $M$ の $G r o t h e n d i e c k$ 群であるという。
条件)任意の可換群 $A$ とモノイド準同型 $φ : M \to A$ についてある群準同型 $[φ] : [M] \to A$ がただ一つ存在して $φ = [φ] \circ ϕ$ が成立する。

G r o t h e n d i c k

群の存在性と一意性

可換モノイド $M$ についてその $G r o t h e n d i e c k$ 群は群同型を除いて一意的に存在する。

⑴存在性について
まず $[M]$ を構成して、そのあとに $ϕ$ を構成し、そのあとにそれが条件を満たすことを示す。
① $[M]$ の構成
$M \times M$ に次のような関係 $R$ を入れる。 $(a, b), (c, d) \in M \times M$ について、 $(a, b) R (c, d) \Leftrightarrow a + d + m = b + c + m$ となる元 $m \in M$ が存在する。
この $R$ は $M \times M$ における同値関係になっていることは簡単に確かめられる。 $M \times M$ を $R$ で割った商集合を $[M]$ で表すことにする。 $(a, b)$ の同値類を $[a, b]$ と表すことにして、 $[M]$ に次のような演算を導入する。 $[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]$ これがwell-defined であることは容易に確かめられる。また、この演算により $[M]$ が群になることを確認しておく。 $[a, b] + [b, a] = [a + b, a + b]$ となる。ここで、 $a + b + 0 = 0 + a + b$ より与式 $= [0, 0]$ となり $[b, a]$ が $[a, b]$ の逆元であることがわかった。
② $ϕ$ の構成
$ϕ : M ∋ a \mapsto [a, 0] \in [M]$ とする。
③これが条件を満たすことを確認する。
$φ : M \to A$ を任意のモノイド準同型とする。 $[φ] : [M] \to A$ を $[φ] : [M] ∋ [a, b] \mapsto φ (a) - φ (b) \in A$ と定義する。 $R$ の定め方よりこの $φ$ はwell-defined であり、任意の元 $m \in M$ に対して $[φ] \circ ϕ (m) = [φ] [m, 0] = φ (m) - φ (0) = φ (m)$ となる。次に、 $[φ]$ の一意性を示す。別に $[[φ]]$ が条件を満たしたと仮定する。 $[[φ]] ([a, b]) = [[φ]] ([a, 0] - [b, 0]) = [[φ]] ϕ (a) - [[φ]] ϕ (b) = [φ] ϕ (a) - [φ] ϕ (b) = [φ] (a, b)$ という計算により、 $[[φ]] = [φ]$ が示された。よって、 $[φ] \circ ϕ = φ$ となり上のように定めた $([M], ϕ)$ は条件を満たすことが確認できた。
⑵一意性について
別の $([[M]], ϕ^{'})$ が条件を満たしたと仮定する。 $[M]$ の普遍性より $f : [M] \to [[M]]$ が誘導されて $[[M]]$ の普遍性より $g : [[M]] \to [M]$ が誘導される。合成 $g f$ を考えると、図式の可換性(図式を一つも貼っていないのですが)から $g f ϕ = ϕ$ がわかる。また、 $i d_{[M]}$ もそれを満たすので $[M]$ が条件を満たすことから $g f = i d_{[M]}$ となる。同様に、 $f g = i d_{[[M]]}$ が成立するので $[M]$ と $[[M]]$ は群同型である。