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Grothendieck群

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本稿の目的は$\rm{Grothendieck}$群を定義することである。

$\rm{Grothendieck}$

$M$を可換モノイドとする。可換群$[M]$とモノイド準同型$\phi:M\rightarrow [M]$の組が次の条件を満たすとき、$([M],\phi)$$M$$\rm{Grothendieck}$群であるという。
条件)任意の可換群$A$とモノイド準同型$\varphi :M \rightarrow A$についてある群準同型$[\varphi]:[M] \rightarrow A$がただ一つ存在して$\varphi =[\varphi]\circ \phi$が成立する。

$\rm{Grothendick}$群の存在性と一意性

可換モノイド$M$についてその$\rm{Grothendieck}$群は群同型を除いて一意的に存在する。

⑴存在性について
まず$[M]$を構成して、そのあとに$\phi$を構成し、そのあとにそれが条件を満たすことを示す。
$[M]$の構成
$M \times M$に次のような関係$R$を入れる。$(a,b),(c,d)\in M \times M$について、$(a,b)R (c,d) \Leftrightarrow a+d+m=b+c+m$となる元$m \in M$が存在する。
この$R$$M \times M$における同値関係になっていることは簡単に確かめられる。$M\times M$$R$で割った商集合を$[M]$で表すことにする。$(a,b)$の同値類を$[a,b]$と表すことにして、$[M]$に次のような演算を導入する。$[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]$これがwell-defined であることは容易に確かめられる。また、この演算により$[M]$が群になることを確認しておく。$[a,b]+[b,a]=[a+b,a+b]$となる。ここで、$a+b+0=0+a+b$より与式$=[0,0]$となり$[b,a]$$[a,b]$の逆元であることがわかった。
$\phi$の構成
$\phi:M \ni a \mapsto [a,0] \in [M]$とする。
③これが条件を満たすことを確認する。
$\varphi:M \rightarrow A$を任意のモノイド準同型とする。$[\varphi]:[M] \rightarrow A$$[\varphi]:[M]\ni [a,b] \mapsto \varphi(a)-\varphi(b) \in A$と定義する。$R$の定め方よりこの$\varphi$はwell-defined であり、任意の元$m \in M$に対して$[\varphi] \circ \phi (m)=[\varphi][m,0]=\varphi(m)-\varphi(0)=\varphi(m)$となる。次に、$[\varphi]$の一意性を示す。別に$[[\varphi]]$が条件を満たしたと仮定する。$[[\varphi]]([a,b])=[[\varphi]]([a,0]-[b,0])=[[\varphi]]\phi(a)-[[\varphi]]\phi(b)=[\varphi]\phi(a)-[\varphi]\phi(b)=[\varphi](a,b)$という計算により、$[[\varphi]]=[\varphi]$が示された。よって、$[\varphi] \circ \phi=\varphi$となり上のように定めた$([M],\phi)$は条件を満たすことが確認できた。
⑵一意性について
別の$([[M]],\phi')$が条件を満たしたと仮定する。$[M]$の普遍性より$f:[M] \rightarrow [[M]]$が誘導されて$[[M]]$の普遍性より$g:[[M]] \rightarrow [M]$が誘導される。合成$gf$を考えると、図式の可換性(図式を一つも貼っていないのですが)から$gf\phi=\phi$がわかる。また、$id_{[M]}$もそれを満たすので$[M]$が条件を満たすことから$gf=id_{[M]}$となる。同様に、$fg=id_{[[M]]}$が成立するので$[M]$$[[M]]$は群同型である。

参考

『群と表現』(横田一郎)

投稿日:20201219

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投稿者

B2 現在代数学(特に環論)を勉強中。 将来は群論やりたいとか思ってます。 気が向いた時に更新していく感じでいきます。

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