n回に1回当たるくじ

初投稿なので軽めのものを。

確率$1/n$で当たるくじのことを、「$n$回に1回あたるくじ」と言ったりしますよね。この表現から、$n$回引いたら1回は当たるだろう、と期待する人も多いですが、実際のところどうなのでしょう。簡単な計算で確かめることができます。

このくじを1回引いて、外れる確率は$1-1/n$です。よって$n$回引いてすべてが外れの確率は、これが$n$回繰り返されるわけですから、$(1-1/n)^n$となり、したがって$n$回引いて1回は当たる確率は$1-(1-1/n)^n$となります。これを$p_n$として、$n$に具体的な自然数を代入してみると、

\begin{eqnarray} p_1=1,\ p_2=0.75,\ p_3=0.70\cdots, \cdots \end{eqnarray}
と、意外に確率が低い気がしませんか？ちなみにこの$p_n$は$n\rightarrow \infty$で収束し、

\begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty}p_n=1-\frac{1}{e}=0.63\cdots \end{eqnarray}
となります。よくゲームのガチャなどでは$n=100$くらいのガチャがありますが、それは$100$回引いても約$65$%の望みしかないというわけですね。確率は感覚に反することがあるので難しいです。

読んでくださりありがとうございました。