大学数学基礎解説

積分解説25

積分

126

級数botでツイートされた積分です。

https://twitter.com/infseriesbot/status/1339458952375889921?s=21

$\int_{0}^{1} \frac{\log \log \frac{1}{x}}{1 + x} d x = - \frac{1}{2} \log^{2} 2$

$η^{'} (1) = γ \log 2 - \frac{1}{2} \log^{2} 2$

$η (x)$ はDirichlet eta functionと呼ばれ、

$η (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n^{x}} (= - ζ (\overset{―}{x}))$

と定義されます。また、

$η (x) = (1 - 2^{1 - x}) ζ (x)$

という関係式も知られています。さらに、定義より

$η^{'} (1) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n} \log n$

となります。

$\begin{array}{rcl} η^{'} (1) \\ = & lim_{x \to 1} \frac{d}{d x} ((1 - 2^{1 - x}) ζ (x)) \\ = & lim_{x \to 1} (2^{1 - x} \log 2 ζ (x) + (1 - 2^{1 - x}) ζ^{'} (x)) \\ = & lim_{t \to 0} (2^{t} \log 2 ζ (1 - t) - (1 - 2^{t}) ζ^{'} (1 - t)) \\ = & lim_{t \to 0} (2^{t} \log 2 (- \frac{1}{t} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{γ_{n}}{n!} t^{n}) - (1 - 2^{t}) \frac{\partial}{\partial t} (- \frac{1}{t} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{γ_{n}}{n!} t^{n})) \\ = & lim_{t \to 0} (2^{t} \log 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{γ_{n}}{n!} t^{n} - \frac{2^{t} \log 2}{t} - (1 - 2^{t}) (\frac{1}{t^{2}} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{γ_{n - 1}}{n!} t^{n})) \\ = & lim_{t \to 0} (2^{t} \log 2 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{γ_{n}}{n!} t^{n} - (1 - 2^{t}) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{γ_{n - 1}}{n!} t^{n}) - lim_{t \to 0} (\frac{2^{t} \log 2}{t} + \frac{1 - 2^{t}}{t^{2}}) \\ = & γ \log 2 - lim_{t \to 0} \frac{t 2^{t} \log 2 + 1 - 2^{t}}{t^{2}} \\ = & γ \log 2 - lim_{t \to 0} \frac{t 2^{t} \log^{2} 2}{2 t} \\ = & γ \log 2 - lim_{t \to 0} 2^{t - 1} \log^{2} 2 \\ = & γ \log 2 - \frac{1}{2} \log^{2} 2 \end{array}$

ここでの $γ_{n}$ はスティルチェス定数というもので、

$ζ (s) = \frac{1}{s - 1} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n!} γ_{n} (s - 1)^{n}$

を満たす定数です。

$γ_{0}$ は $γ$ と表され、これはオイラーの定数です。詳しくはこちらをご覧ください。

それでは本題に移ります。

[解説]

$\begin{array}{rcl} \int_{0}^{1} \frac{\log \log \frac{1}{x}}{1 + x} d x \\ = & \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- t} \log t}{1 + e^{- t}} d t (t = \log \frac{1}{x}) \\ = & - \int_{0}^{\infty} \log t \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k} e^{- k t} d t \\ = & {- \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k} \int_{0}^{\infty} e^{- k t} \frac{\partial}{\partial u} t^{u - 1} d t |}_{u = 1} \\ = & {- \frac{\partial}{\partial u} \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k} \int_{0}^{\infty} t^{u - 1} e^{- k t} d t |}_{u = 1} \\ = & {- \frac{\partial}{\partial u} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{k^{u}} \int_{0}^{\infty} t^{u - 1} e^{- t} d t |}_{u = 1} \\ = & {\frac{\partial}{\partial u} Γ (u) η (u) |}_{u = 1} \\ = & {Γ^{'} (u) η (u) + Γ (u) η^{'} (u) |}_{u = 1} \\ = & Γ^{'} (1) η (1) + Γ (1) η^{'} (1) \\ = & Γ (1) ψ (1) η (1) + Γ (1) η^{'} (1) \\ = & - γ \log 2 + γ \log 2 - \frac{1}{2} \log^{2} 2 \\ = & - \frac{1}{2} \log^{2} 2 \end{array}$