積分解説25
級数botでツイートされた積分です。
https://twitter.com/infseriesbot/status/1339458952375889921?s=21
$$\d\i1\frac{\log\log\frac1x}{1+x}dx=-\frac12\log^22 $$
$$\d\eta'(1)=\gamma\log2-\frac12\log^22 $$
$\d\eta(x) $はDirichlet eta functionと呼ばれ、
$\d\eta(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}~~~~~\l=-\z(\overline x) \r $
と定義されます。また、
$\d\eta(x)=\l1-2^{1-x}\r\z(x) $
という関係式も知られています。さらに、定義より
$\d\eta'(1)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n\log n $
となります。
$ \begin{eqnarray*} &&\eta'(1)\\ &=&\lim_{x\rightarrow1}\frac{d}{dx}\l(1-2^{1-x})\z(x) \r\\ &=&\lim_{x\rightarrow1}\l2^{1-x}\log2\z(x)+(1-2^{1-x})\z'(x) \r\\ &=&\lim_{t\rightarrow0}\l2^t\log2\z(1-t)-(1-2^t)\z'(1-t) \r\\ &=&\lim_{t\rightarrow0}\l2^t\log2\l-\frac1t+\sum_{n=0}^\infty\frac{\gamma_n}{n!}t^n \r-(1-2^t)\frac{\partial}{\partial t}\l-\frac1t+\sum_{n=0}^\infty\frac{\gamma_n}{n!}t^n \r \r\\ &=&\lim_{t\rightarrow0}\l2^t\log2\sum_{n=0}^\infty\frac{\gamma_n}{n!}t^n-\frac{2^t\log2}t-(1-2^t)\l\frac1{t^2}+\sum_{n=0}^\infty\frac{\gamma_{n-1}}{n!}t^n\r\r\\ &=&\lim_{t\rightarrow0}\l2^t\log2\sum_{n=0}^\infty\frac{\gamma_n}{n!}t^n-(1-2^t)\sum_{n=0}^\infty\frac{\gamma_{n-1}}{n!}t^n \r-\lim_{t\rightarrow0}\l\frac{2^t\log2}t+\frac{1-2^t}{t^2} \r \\ &=&\gamma\log2-\lim_{t\rightarrow0}\frac{t2^t\log2+1-2^t}{t^2}\\ &=&\gamma\log2-\lim_{t\rightarrow0}\frac{t2^t\log^22}{2t}\\ &=&\gamma\log2-\lim_{t\rightarrow0}2^{t-1}\log^22\\ &=&\gamma\log2-\frac12\log^22 \end{eqnarray*} $
ここでの$\gamma_n$はスティルチェス定数というもので、
$\d\z(s)=\frac1{s-1}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}\gamma_n(s-1)^n $
を満たす定数です。
$\gamma_0$は$\gamma$と表され、これはオイラーの定数です。詳しくは こちら をご覧ください。
それでは本題に移ります。
[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\i1\frac{\log\log\frac1x}{1+x}dx\\ &=&\i\infty\frac{e^{-t}\log t}{1+e^{-t}}dt~~~~~~~~~~\l t=\log\frac1x \r\\ &=&-\i\infty\log t\sum_{k=1}^\infty(-1)^k e^{-kt}dt\\ &=&\left.-\sum_{k=1}^\infty(-1)^k \i\infty e^{-kt}\frac{\partial}{\partial u} t^{u-1} dt\right|_{u=1}\\ &=&\left.-\frac{\partial}{\partial u}\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\i\infty t^{u-1}e^{-kt}dt\right|_{u=1}\\ &=&\left.-\frac{\partial}{\partial u}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k^u}\i\infty t^{u-1}e^{-t}dt\right|_{u=1}\\ &=&\left.\frac{\partial}{\partial u} \Gamma(u)\eta(u) \right|_{u=1}\\ &=&\left.\Gamma'(u)\eta(u)+\Gamma(u)\eta'(u) \right|_{u=1}\\ &=&\Gamma'(1)\eta(1)+\Gamma(1)\eta'(1)\\ &=&\Gamma(1)\psi(1)\eta(1)+\Gamma(1)\eta'(1)\\ &=&-\gamma\log2+\gamma\log2-\frac12\log^22\\ &=&-\frac12\log^22 \end{eqnarray*} $
よって、
$\d\i1\frac{\log\log\frac1x}{1+x}dx=-\frac12\log^22 $
が証明されました。