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積分解説25

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級数botでツイートされた積分です。

https://twitter.com/infseriesbot/status/1339458952375889921?s=21

01loglog1x1+xdx=12log22

η(1)=γlog212log22

η(x)はDirichlet eta functionと呼ばれ、

η(x)=n=1(1)n1nx     (=ζ(x))

と定義されます。また、

η(x)=(121x)ζ(x)

という関係式も知られています。さらに、定義より

η(1)=n=1(1)nnlogn

となります。

η(1)=limx1ddx((121x)ζ(x))=limx1(21xlog2ζ(x)+(121x)ζ(x))=limt0(2tlog2ζ(1t)(12t)ζ(1t))=limt0(2tlog2(1t+n=0γnn!tn)(12t)t(1t+n=0γnn!tn))=limt0(2tlog2n=0γnn!tn2tlog2t(12t)(1t2+n=0γn1n!tn))=limt0(2tlog2n=0γnn!tn(12t)n=0γn1n!tn)limt0(2tlog2t+12tt2)=γlog2limt0t2tlog2+12tt2=γlog2limt0t2tlog222t=γlog2limt02t1log22=γlog212log22

ここでのγnはスティルチェス定数というもので、

ζ(s)=1s1+n=0(1)nn!γn(s1)n

を満たす定数です。

γ0γと表され、これはオイラーの定数です。詳しくは こちら をご覧ください。

それでは本題に移ります。

[解説]

01loglog1x1+xdx=0etlogt1+etdt          (t=log1x)=0logtk=1(1)kektdt=k=1(1)k0ektutu1dt|u=1=uk=1(1)k0tu1ektdt|u=1=uk=1(1)kku0tu1etdt|u=1=uΓ(u)η(u)|u=1=Γ(u)η(u)+Γ(u)η(u)|u=1=Γ(1)η(1)+Γ(1)η(1)=Γ(1)ψ(1)η(1)+Γ(1)η(1)=γlog2+γlog212log22=12log22

よって、

01loglog1x1+xdx=12log22

が証明されました。

投稿日:20201220
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神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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