級数botでツイートされた積分です。
https://twitter.com/infseriesbot/status/1339458952375889921?s=21
∫01loglog1x1+xdx=−12log22
η′(1)=γlog2−12log22
η(x)はDirichlet eta functionと呼ばれ、
η(x)=∑n=1∞(−1)n−1nx (=−ζ(x―))
と定義されます。また、
η(x)=(1−21−x)ζ(x)
という関係式も知られています。さらに、定義より
η′(1)=∑n=1∞(−1)nnlogn
となります。
η′(1)=limx→1ddx((1−21−x)ζ(x))=limx→1(21−xlog2ζ(x)+(1−21−x)ζ′(x))=limt→0(2tlog2ζ(1−t)−(1−2t)ζ′(1−t))=limt→0(2tlog2(−1t+∑n=0∞γnn!tn)−(1−2t)∂∂t(−1t+∑n=0∞γnn!tn))=limt→0(2tlog2∑n=0∞γnn!tn−2tlog2t−(1−2t)(1t2+∑n=0∞γn−1n!tn))=limt→0(2tlog2∑n=0∞γnn!tn−(1−2t)∑n=0∞γn−1n!tn)−limt→0(2tlog2t+1−2tt2)=γlog2−limt→0t2tlog2+1−2tt2=γlog2−limt→0t2tlog222t=γlog2−limt→02t−1log22=γlog2−12log22
ここでのγnはスティルチェス定数というもので、
ζ(s)=1s−1+∑n=0∞(−1)nn!γn(s−1)n
を満たす定数です。
γ0はγと表され、これはオイラーの定数です。詳しくは こちら をご覧ください。
それでは本題に移ります。
[解説]
∫01loglog1x1+xdx=∫0∞e−tlogt1+e−tdt (t=log1x)=−∫0∞logt∑k=1∞(−1)ke−ktdt=−∑k=1∞(−1)k∫0∞e−kt∂∂utu−1dt|u=1=−∂∂u∑k=1∞(−1)k∫0∞tu−1e−ktdt|u=1=−∂∂u∑k=1∞(−1)kku∫0∞tu−1e−tdt|u=1=∂∂uΓ(u)η(u)|u=1=Γ′(u)η(u)+Γ(u)η′(u)|u=1=Γ′(1)η(1)+Γ(1)η′(1)=Γ(1)ψ(1)η(1)+Γ(1)η′(1)=−γlog2+γlog2−12log22=−12log22
よって、
が証明されました。
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