積分解説26

まず、$\log\Gamma(x)$のフーリエ級数展開を考えます。

$\d a_n=2\i1\log\Gamma(x)\cos2n\pi xdx $

$\d b_n=2\i1\log\Gamma(x)\sin2n\pi xdx $ とおくと、

$\d\log\Gamma(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\l a_n\cos2n\pi x+b_n\sin2n\pi x \r $

が成立します。また、

$ \begin{eqnarray*} &&a_0\\ &=&2\i1\log\Gamma(x)dx\\ &=&\i1\log(\Gamma(x)\Gamma(1-x))dx\\ &=&\i1\log\frac\pi{\sin\pi x}dx\\ &=&\log2\pi \end{eqnarray*} $

より、$a_0=\log2\pi$

さらに、

$ \begin{eqnarray*} &&a_n\\ &=&2\i1\log\Gamma(x)\cos2n\pi xdx\\ &=&\i1\log(\Gamma(x)\Gamma(1-x))\cos2n\pi xdx\\ &=&\i1\log\frac\pi{\sin\pi x}\cos2n\pi xdx\\ &=&\log\pi\i1\cos2n\pi xdx-\i1\log\sin\pi x\cos2n\pi xdx\\ &=&-\left[\frac{\log\sin\pi x\sin2n\pi x}{2n\pi} \right]_0^1+\frac1{2n}\i1\frac{\sin2n\pi x\cos\pi x}{\sin\pi x}dx\\ &=&\frac1{2n}\i1\frac{\sin2\pi x\cos\pi x}{\sin\pi x}dx\\ &=&\frac1n\i1\cos^2\pi xdx\\ &=&\frac1n\left[\frac x2+\frac{\sin2\pi x}{4\pi} \right]_0^1\\ &=&\frac1{2n} \end{eqnarray*} $

より、$\d a_n=\frac1{2n}$

また、ワイエルシュトラスの乗積表示より、

$\d\log\Gamma(x)=-\gamma x-\log x+\sum_{k=1}^\infty\l\frac xk-\log\l1+\frac xk \r \r $

であるから、

$ \begin{eqnarray*} &&b_n\\ &=&2\i1\l-\gamma x-\log x+\sum_{k=1}^\infty\l-\frac xk+\log\l1+\frac xk\r\r\r\sin2n\pi xdx\\ &=&2\gamma\left[\frac{x\cos2n\pi x}{2n\pi} \right]_0^1+\frac1{n\pi}\left[\cos2n\pi x\log x \right]_0^1-\frac1{n\pi}\i1\frac{\cos2n\pi x}xdx+2\sum_{k=1}^\infty\i1\l\frac1kx\sin2n\pi x-\log\l1+\frac xk \r\sin2n\pi x \r dx \\ &=&\frac\gamma{n\pi}-\frac1{n\pi}\lim_{t\rightarrow0}\cos2n\pi t\log t-\frac1{n\pi}\left[\text{Ci}(2n\pi x) \right]_0^1+\frac1{n\pi}\sum_{k=1}^\infty\l-\frac1k+\log\l1+\frac1k\r-\left[\text{Ci}(2n\pi(k+x)) \right]_0^1 \r \\ &=&\frac{\gamma-\text{Ci}(2n\pi)}{n\pi}-\frac1{n\pi} \lim_{t\rightarrow0}\l\cos2n\pi t\log t-\text{Ci}(2n\pi t) \r+\frac1{n\pi}\sum_{k=1}^\infty\l\log\l1+\frac1k\r-\frac1k+\text{Ci}(2nk\pi)-\text{Ci}(2n(k+1)\pi) \r \\ &=&\frac{\gamma-\text{Ci}(2n\pi)}{n\pi}-\frac1{n\pi} \lim_{t\rightarrow0}\l\cos2n\pi t\log t-\gamma-\log2n\pi t-\i{2n\pi t}\frac{1-\cos u}udu \r+\frac{-\gamma+\text{Ci}(2n\pi)}{n\pi} \\ &=&\frac{\gamma-\text{Ci}(2n\pi)+\gamma+\log2n\pi-\gamma+\text{Ci}(2n\pi)}{n\pi}\\ &=&\frac{\gamma+\log2n\pi}{n\pi} \end{eqnarray*} $

より、$\d b_n=\frac{\gamma+\log2n\pi}{n\pi} $

よって、

$\d\log\Gamma(x)=\frac12\log2\pi+\sum_{n=1}^\infty\l\frac1{2n}\cos2n\pi x+\frac{\gamma+\log2n\pi}{n\pi}\sin2n\pi x \r $

がわかりました。この式に$\d x=\frac34 $を代入すると、

$ \begin{eqnarray*} &&\log\Gamma\l\frac34\r\\ &=&\frac12\log2\pi+\sum_{n=1}^\infty\l\frac1{2n}\cos\frac32n\pi+\frac{\gamma+\log2n\pi}{n\pi}\sin\frac32n\pi \r\\ &=&\frac12\log2\pi+\frac14\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n+\frac{\gamma+\log2\pi}\pi\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}+\frac1\pi\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\log(2n+1)}{2n+1}\\ &=&\frac12\log2\pi-\frac14\log2-\frac14\gamma-\frac14\log2\pi+\frac1\pi\beta'(1)\\ &=&-\frac14\l\gamma-\log\pi\r+\frac1\pi\beta'(1) \end{eqnarray*} $

よって、

$\d\beta'(1)=\frac\pi4\l \gamma-\log\pi \r+\pi\log\Gamma\l\frac34\r $

が証明されました。