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積分解説26

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{i}[1]{\int_0^{#1}} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{qed}[0]{~~~~~~~~~~\square} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

級数botでツイートされた積分です。

https://twitter.com/infseriesbot/status/1339458952375889921?s=21

$$\d\i1\frac{\log\log\frac1x}{1+x^2}dx=\frac\pi2\log\frac{\Gamma\l\frac34\r^2}{\sqrt\pi} $$

$$\d\beta'(1)=\frac\pi4(\gamma-\log\pi)+\pi\log\Gamma\l\frac34\r $$

$\beta(x)$はDirichlet beta functionと呼ばれ、

$\d\beta(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)^x} $

と定義されます。また、定義より、

$\d\beta'(1)=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\log(2n+1)}{2n+1} $

となります。

まず、$\log\Gamma(x)$のフーリエ級数展開を考えます。

$\d a_n=2\i1\log\Gamma(x)\cos2n\pi xdx $

$\d b_n=2\i1\log\Gamma(x)\sin2n\pi xdx $ とおくと、

$\d\log\Gamma(x)=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^\infty\l a_n\cos2n\pi x+b_n\sin2n\pi x \r $

が成立します。また、

$ \begin{eqnarray*} &&a_0\\ &=&2\i1\log\Gamma(x)dx\\ &=&\i1\log(\Gamma(x)\Gamma(1-x))dx\\ &=&\i1\log\frac\pi{\sin\pi x}dx\\ &=&\log2\pi \end{eqnarray*} $

より、$a_0=\log2\pi$

さらに、

$ \begin{eqnarray*} &&a_n\\ &=&2\i1\log\Gamma(x)\cos2n\pi xdx\\ &=&\i1\log(\Gamma(x)\Gamma(1-x))\cos2n\pi xdx\\ &=&\i1\log\frac\pi{\sin\pi x}\cos2n\pi xdx\\ &=&\log\pi\i1\cos2n\pi xdx-\i1\log\sin\pi x\cos2n\pi xdx\\ &=&-\left[\frac{\log\sin\pi x\sin2n\pi x}{2n\pi} \right]_0^1+\frac1{2n}\i1\frac{\sin2n\pi x\cos\pi x}{\sin\pi x}dx\\ &=&\frac1{2n}\i1\frac{\sin2\pi x\cos\pi x}{\sin\pi x}dx\\ &=&\frac1n\i1\cos^2\pi xdx\\ &=&\frac1n\left[\frac x2+\frac{\sin2\pi x}{4\pi} \right]_0^1\\ &=&\frac1{2n} \end{eqnarray*} $

より、$\d a_n=\frac1{2n}$

また、ワイエルシュトラスの乗積表示より、

$\d\log\Gamma(x)=-\gamma x-\log x+\sum_{k=1}^\infty\l\frac xk-\log\l1+\frac xk \r \r $

であるから、

$ \begin{eqnarray*} &&b_n\\ &=&2\i1\l-\gamma x-\log x+\sum_{k=1}^\infty\l-\frac xk+\log\l1+\frac xk\r\r\r\sin2n\pi xdx\\ &=&2\gamma\left[\frac{x\cos2n\pi x}{2n\pi} \right]_0^1+\frac1{n\pi}\left[\cos2n\pi x\log x \right]_0^1-\frac1{n\pi}\i1\frac{\cos2n\pi x}xdx+2\sum_{k=1}^\infty\i1\l\frac1kx\sin2n\pi x-\log\l1+\frac xk \r\sin2n\pi x \r dx \\ &=&\frac\gamma{n\pi}-\frac1{n\pi}\lim_{t\rightarrow0}\cos2n\pi t\log t-\frac1{n\pi}\left[\text{Ci}(2n\pi x) \right]_0^1+\frac1{n\pi}\sum_{k=1}^\infty\l-\frac1k+\log\l1+\frac1k\r-\left[\text{Ci}(2n\pi(k+x)) \right]_0^1 \r \\ &=&\frac{\gamma-\text{Ci}(2n\pi)}{n\pi}-\frac1{n\pi} \lim_{t\rightarrow0}\l\cos2n\pi t\log t-\text{Ci}(2n\pi t) \r+\frac1{n\pi}\sum_{k=1}^\infty\l\log\l1+\frac1k\r-\frac1k+\text{Ci}(2nk\pi)-\text{Ci}(2n(k+1)\pi) \r \\ &=&\frac{\gamma-\text{Ci}(2n\pi)}{n\pi}-\frac1{n\pi} \lim_{t\rightarrow0}\l\cos2n\pi t\log t-\gamma-\log2n\pi t-\i{2n\pi t}\frac{1-\cos u}udu \r+\frac{-\gamma+\text{Ci}(2n\pi)}{n\pi} \\ &=&\frac{\gamma-\text{Ci}(2n\pi)+\gamma+\log2n\pi-\gamma+\text{Ci}(2n\pi)}{n\pi}\\ &=&\frac{\gamma+\log2n\pi}{n\pi} \end{eqnarray*} $

より、$\d b_n=\frac{\gamma+\log2n\pi}{n\pi} $

よって、

$\d\log\Gamma(x)=\frac12\log2\pi+\sum_{n=1}^\infty\l\frac1{2n}\cos2n\pi x+\frac{\gamma+\log2n\pi}{n\pi}\sin2n\pi x \r $

がわかりました。この式に$\d x=\frac34 $を代入すると、

$ \begin{eqnarray*} &&\log\Gamma\l\frac34\r\\ &=&\frac12\log2\pi+\sum_{n=1}^\infty\l\frac1{2n}\cos\frac32n\pi+\frac{\gamma+\log2n\pi}{n\pi}\sin\frac32n\pi \r\\ &=&\frac12\log2\pi+\frac14\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n+\frac{\gamma+\log2\pi}\pi\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}+\frac1\pi\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^{n+1}\log(2n+1)}{2n+1}\\ &=&\frac12\log2\pi-\frac14\log2-\frac14\gamma-\frac14\log2\pi+\frac1\pi\beta'(1)\\ &=&-\frac14\l\gamma-\log\pi\r+\frac1\pi\beta'(1) \end{eqnarray*} $

よって、

$\d\beta'(1)=\frac\pi4\l \gamma-\log\pi \r+\pi\log\Gamma\l\frac34\r $

が証明されました。

それでは本題に移ります。

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\i1\frac{\log\log\frac1x}{1+x^2}dx\\ &=&\i\infty\frac{e^{-t}\log t}{1+e^{-2t}}dt~~~~~~~~~~(x=e^{-t})\\ &=&-\i\infty e^t\log t\sum_{k=1}^\infty(-1)^k e^{-2kt}dt\\ &=&\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1} \i\infty \log te^{-(2k-1)t}dt\\ &=&\left.\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\i\infty\frac{\partial}{\partial u}t^{u-1}e^{-(2k-1)t}dt\right|_{u=1}\\ &=&\left.\frac{\partial}{\partial u}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^u}\i\infty t^{u-1}e^{-t}dt\right|_{u=1}\\ &=&\left.\frac{\partial}{\partial u}\beta(u)\Gamma(u)\right|_{u=1}\\ &=&\left.\beta'(u)\Gamma(u)+\beta(u)\Gamma'(u) \right|_{u=1}\\ &=&\beta'(1)\Gamma(1)+\beta(1)\Gamma(1)\psi(1)\\ &=&\frac\pi4\l \gamma-\log\pi \r+\pi\log\Gamma\l\frac34\r-\frac\pi4\gamma\\ &=&-\frac\pi2\log\sqrt\pi+\frac\pi2\log\Gamma\l\frac34\r^2\\ &=&\frac\pi2\log\frac{\Gamma\l\frac34\r^2}{\sqrt\pi} \end{eqnarray*} $

以上より、

$\d\i1\frac{\log\log\frac1x}{1+x^2}dx=\frac\pi2\log\frac{\Gamma\l\frac34\r^2}{\sqrt\pi} $

が証明されました。

投稿日:20201221

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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