プチ小技集：Prime Avoidance

素イデアル $\{P_t\}$ の２要素に包含関係があれば小さい方を除けるので，$\{P_t\}$ の２要素の間には包含関係がないとしてよい．

このとき $$x_t\in \left(\bigcap _{u\ne t}{P}_u\right)\setminus P_t$$なる要素 $x_t$ が存在する．実際，$P_u\not\subset P_t$ なので $y_u\in P_u\setminus P_t$ がとれて，$x_t=\prod _{u\ne t}{y}_u$ とおけばよい．$u\ne t$ のとき $y_u\in P_u$ ゆえ $x_t\in P_u$，また各 $u$ に対し $y_u\notin P_t$ ゆえ $x_t\notin P_t$ である．

各 $t$ に対し，$I\not\subset P_t$ から $z_t\in I\setminus P_t$ をとれる．ここで $$x:=x_1{z}_1+x_2{z}_2+\cdots +x_s{z}_s$$とおく．$z_t\in I$ から $x\in I$，一方 $u\ne t$ のとき $x_u{z}_u\in P_t$ かつ $x_u{z}_u\notin P_t$ なので $x\notin P_t$，特に $x$ はどの $P_t$ にも含まれない．